İNSAN MANDİBULASINDA SONLU ELEMANLAR METODU KULLANILARAK GERİLME ANALİZİ YAPILMASI

Abdülkerim İLGÜN; Hasan Hüsnü KORKMAZ; Sıddık MALKOÇ; Faruk Ayhan BAŞÇİFTÇİ

ELAST�K ZEM�NE OTURAN K�R��LER�N TA�IMA MATR�S� Y�NTEM� �LE B�R�NC� VE �K�NC� MERTEBE STAT�K ANAL�Z�

ELAST�K ZEM�NE OTURAN K�R��LER�N TA�IMA MATR�S� Y�NTEM� �LE B�R�NC� VE �K�NC� MERTEBE STAT�K VE STAB�L�TE ANAL�Z�

Kanat Burak BOZDO�AN, Alper SEZER ve Pelin AKLIK

Ege �nv. M�h Fak. �n�aat M�h. B�l.

kanat@eng.ege.edu.tr, �asezer@bornova.ege.edu.tr, pelinaklik@mynet.com

Makalenin Geli� Tarihi: 27.02.2004

�ZET :Bu �al��mada elastik zemine oturan kiri�lerin birinci ve ikinci mertebe statik analizi i�in ta��ma matrisi y�ntemini temel alan bir y�ntem sunulmu�tur. Elastik zemine oturan kiri�lerin y�k alt�ndaki davran��n�n Winkler hipotezine uydu�u kabul� yap�lm��t�r. �al��man�n sonunda sunulan yakla��m�n matris-deplasman y�ntemine yak�nsakl��n� ara�t�rmak �zere literat�rden al�nan iki adet �rnek sunulmu�tur.

Anahtar kelimeler: Ta��ma matrisi, Winkler hipotezi, elastik zemine oturan kiri�.

First and Second Order Static and Stability Analysis of Beams on Elastic Foundations Using Transfer Matrix Method

ABSTRACT: In this study, a method based on transfer matrix method for the first and second order statical analysis of beams on elastic foundations is presented. It is assumed that the behavior of beams under loading is in agreement with the Winkler hypothesis. At the end of the study, two examples quoted from the literature are presented in order to investigate the advantage of the method to matrix-displacement method.

Key words: Transfer matrix, Winkler hypothesis, beams on elastic foundations.

G�R��

Elastik zemine oturan kiri�lerin statik ve dinamik hesab�na y�nelik olarak literat�rde bir�ok �al��ma mevcuttur. Bunlardan konunun ba�l�ca eserlerinden birisi Hetenyi�nin kitab� hi� ��phesiz ki en ba�ta gelmektedir (Hetenyi, 1946). �lkemizde de bu konuda �zellikle �atal ve �Alku (1996), G�lkan ve Alemdar (1994) ve Keskinel ve Kumbasar (1976)��n �al��malar� dikkate de�erdir. S�z� edilen �al��malarda sonlu elemanlar y�ntemi ve sonlu farklar y�ntemi kullan�lm��t�r. Bu �al��mada ise elastik zemine oturan kiri�lerin birinci ve ikinci mertebe statik hesab� i�in ta��ma matrisi y�ntemine dayanan bir yakla��m sunulmu�tur. �al��mada, ta��ma matrislerinin elde edilmesinde;

a) Malzemenin lineer-elastik oldu�u,

b) Zeminin y�k alt�ndaki davran��n�n Winkler hipotezine uydu�u

kabulleri yap�lm��t�r.

A�a��da s�ras�yla birinci ve ikinci mertebe ta��ma matrislerinin elde edilmesinde izlenen yol sunulmu�tur.

B�R�NC� MERTEBE TA�IMA MATR�S�

Bir kiri� eleman�n�n elastik bir ortamda s�rekli olarak mesnetlenmesi halinde eleman�n elastik e�risine ait diferansiyel denklem a�a��daki gibi verilmektedir :

�ekil 1. Elastik zemine oturan kiri� �zerinde yay�l� y�k.

Figure 1. Distributed load over elastic soil.

�� (1)

Burada,

EI�� :Kiri� eleman�n�n e�ilme rijitli�ini,

y�� :Kiri�in elastik e�ri fonksiyonunu,

z�� :Kiri� �zerindeki bir noktan�n ba�lang�ca olan uzakl��n�,

q(z) �� :Kiri� �zerindeki yay�l� y�k fonksiyonunu g�stermektedir (�ekil 1).

Burada k, elastik zemine oturan b geni�likli kiri�in alt�ndaki zeminin yatak katsay�s�n� g�stermektedir. B�ylece (1) nolu diferansiyel denklem, q(z)=0 durumunda,

�� (2)

�eklinde d�rd�nc� mertebeden homojen bir adi diferansiyel denklem elde edilir. (2) nolu diferansiyel denklemin ��z�m�

�� (3)

�eklindedir. Burada,

�� (4)

�eklinde verilen bir sabiti g�stermektedir. (2) nolu elastik e�ri ifadesinden yararlan�larak s�ras�yla d�nme, moment ve kesme kuvveti ifadeleri a�a��daki gibi elde edilirler

�� (5)

�� (6)

�� (7)

Yukar�daki (3), (5), (6) ve (7) ifadelerinde yer alan �ekil de�i�tirme, d�nme, moment ve kesme kuvveti ifadeleri matris formda a�a��daki gibi yaz�labilir:

�� (8)

Burada A₁ matrisinin elemanlar� s�ras�yla,

olarak yaz�labilir. Kiri� eleman�n�n ba�lang�� noktas� i�in (8) nolu e�itlik,

�� (9)

�eklinde yaz�l�r. Burada A_1(z=0)��n elemanlar�,

��

�eklindedir. Buradan (9) nolu ba��nt�da yer alan katsay�lar vekt�r� �ekilirse,

�� (10)

elde edilir. Bu ifade (8) nolu ifadede yerine yerle�tirilirse,

� ��(11)

elde edilir. Burada yer alan T_i=ifadesi i nolu kiri� par�as� i�in birinci mertebe ta��ma matrisidir.

STAB�L�TE TA�IMA MATR�S�N�N ELDE ED�LMES�

Bu �al��mada sunulan y�ntem ile elastik zemine oturan kiri�lerin stabilite analizi i�in kullan�lacak stabilite ta��ma matrisi, �nceki b�l�mde a��klananlara benzer olarak elde edilebilir. Yukar�da yap�lan i�lemlere eksenel normal kuvvet de ilave edilirse, ikinci mertebe etkiler de i�lemlere dahil edilmi� olunur. Bu durumda (2) nolu diferansiyel denklem kiri� par�as� boyunca sabit olan N eksenel normal kuvvetin de dikkate al�nmas�yla,

�� (12)

halini al�r. Burada N �ekme durumunda pozitif, bas�n� durumunda b,negatif i�aret al�r. (12) nolu diferansiyel denklem, N�in i�areti dikkate al�narak

�� (13)

�eklinde yaz�labilir. B�ylece (13) nolu karakteristik denklemden yararlan�larak (12) nolu diferansiyel denkleminin ��z�m�,

�� (14)

olur. Burada D₁, D₂, D₃ve D₄ s�ras�yla (13) nolu karakteristik denklemin k�kleridir. (14) nolu �ekil de�i�tirme fonksiyonundan yararlanarak birinci mertebe ta��ma matrisinin elde edilmesine benzer �ekilde, s�ras�yla d�nme, moment ve kesme kuvveti de�erleri a�a��daki gibi elde edilebilir:

�� (15)

�� (16)

�� (17)

(14), (15), (16) ve (17) nolu ifadeler, matris formunda a�a��daki gibi yaz�labilir:

�� (18)

Burada A matrisinin elemanlar� s�ras�yla,

olarak yaz�labilir. Kiri� eleman�n�n ba�lang�� noktas� i�in (18) nolu e�itlik,

�� (19)

�eklinde yaz�l�r. Burada A_2(z=0)��n elemanlar�,

��

�

olur. Buradan (19) nolu ba��nt�da yer alan katsay�lar vekt�r� �ekilirse,

�� (20)

elde edilir. Bu ifade (18) nolu ifadede yerine yerle�tirilirse,

�� (21)

elde edilir. Burada yer alan ��arp�m� i nolu kiri� i�in stabilite ta��ma matrisidir ve

�� (22)

�eklinde g�sterilir.

D��EY Y�KLER ETK�S�NDE STAT�K ANAL�Z

�nceki b�l�mde elde edilen birinci ve ikinci mertebe stabilite ta��ma matrisleri kullan�larak elastik zemine oturan kiri�lerin d��ey y�kler etkisindeki statik analiz prosed�r� a�a��da a��klanm��t�r. Ard��k kiri� par�alar� aras�ndaki ba�lant�y� sa�layan T_i ( T^I_i , T^II_i) eleman ta��ma matrisi ile deplasmanlar ve u� kuvvetleri aras�ndaki ili�ki,

�� (23)

denklemi ile sa�lanabilir. Buradaki F_i, i nolu kiri� par�as�n�n biti� ucundaki d��ey d�� y�k� kapsar ve

�� (24)

vekt�r� ile tarif edilebilir. (23) numaral� denklem her bir eleman i�in yaz�l�p ard��k olarak uygulan�rsa, elastik zemine oturan kiri�in ba�lang�� ile biti� ucu aras�nda a�a��da verilen� ili�ki elde edilebilir.

�(25)

Bu denklemde; n, eleman say�s�,� k ve s ise s�ras� ile ba�tan itibaren s+1 ve s inci elemanlard�r.

ve�� (26)

Gerekli k�saltmalar yap�l�rsa,

�� (27)

elde edilir. (27) denkleminden, s�n�r �artlar� dikkate al�narak bilinmeyenler elde edilir. S�n�r �artlar� yard�m�yla ba�lang��ta bilinmeyen olan deplasman,d�nme,kesme kuvveti veya moment de�erleri (23) ifadesinde yerlerine yaz�l�rsa, her bir d��m noktas�ndaki bilinmeyenler ( y_i, q_i, M_i, V_i ) tayin edilebilir.

KR�T�K BURKULMA Y�K�N�N TAY�N�

A�a��da, elastik zemine oturan kiri�lerin kritik burkulma y�k�n�n �nceki b�l�mde verilen� (21) ba��nt�s� yard�m�yla nas�l bulunaca�� a��klanm��t�r. Buna g�re, elastik zemine oturan kiri�in ba�lang�� ve son noktalar� aras�ndaki ili�ki stabilite durumunda a�a��daki gibi yaz�labilir

^{�� }(28)

Yukar�daki denklemde �kabul edilirse, denklemin s�n�r �artlar�n� hesaba katarak nontrivial ��z�m�n� sa�layan en k��k N de�eri sistemin kritik burkulma y�k�n� vermektedir.

B�LG�SAYAR PROGRAMININ AKI� D�YAGRAMI

A�a��da bu �al��mada sunulan y�ntemin say�sal uygulamalar� i�in geli�tirilen bilgisayar program�n�n ak�� diyagram� verilmi�tir. Bu �al��mada sunulan program�n haz�rlanmas�nda MATLAB 6.5 paket program� kullan�lm��t�r.

�RNEKLER

Bu �al��mada sunulan y�ntemin yakla��kl��n� g�stermek �zere Literat�rden al�nan iki say�sal �rnek ��z�lm��t�r. Literat�rden al�nan �rnekler ve k�yaslama sonu�lar� a�a��da verilmi�tir.

Say�sal �rnek 1

Referans (G�lkan ve Alemdar, 1994)�den al�nan �rnekte �ekil 3�de g�r�len elastik zemine oturan kiri�in kesit ve malzeme �zellikleri a�a��da verilmi�tir.

K = 14 N/mm²�, E = 200000 N/mm^{2��}

I = 36900000 mm⁴

S�z konusu referansta verilen �rnek, bu �al��mada sunulan y�ntemle de ��z�lm�� ve sonu�lar kar��la�t�r�lm��t�r.

��z�m a�a��da a�amal� olarak ele al�nm��t�r. �ncelikle, her eleman i�in (8) nolu ba��nt�da yer alan A₁, (9) nolu ba��nt�da yer alan A₀ ve (11) nolu ba��nt�da yer alan T ta��ma matrisleri program dahilinde olu�turulmu�tur.

�ekil 2. Y�ntemin bilgisayar program�na ait ak�� emas�.

Figure 2. Computer program flow chart of the method.

�ekil 3. Say�sal �rnek 1.

Figure 3. Numerical sample 1.

(1) ve (4) nolu elemanlar i�in;

β=0.8299,

A =� 10⁶

A₀ =� 10⁴

T= 10⁵

(2) ve (3) nolu elemanlar i�in,

β=0.8299,�

A = 10⁴

A₀ = 10⁴

T = 10⁴

(1) nolu d��m noktas�ndaki bilinmeyenlerle (2) nolu d��m noktas�n�n sol ucu� bilinmeyenler aras�ndaki ili�ki, a�a��daki gibi yaz�labilir:

�� (29)

(2) nolu d��m noktas�n�n sa� ucu i�in, (2) nolu d��m noktas�ndaki kuvvet dikkate al�n�rsa, bu durumda, a�a��daki ifade yaz�labilir:

�� (30)

(2) nolu elemana ait ta��ma matrisinden yararlan�larak a�a��daki ba��nt�yla (3) nolu d��m noktas�n�n soluna a�a��daki ba��nt�yla ge�ilebilir:

�� (31)

2 eleman�n�n sa��na ait vekt�r yerine (30) nolu ba��nt�daki e�iti yaz�l�rsa,

�� (32)

��lemler bundan sonra da di�er elemanlar i�in benzer �ekilde yap�l�rsa, (1) nolu d��m noktas�yla (5) nolu d��m noktas� aras�ndaki ili�ki a�a��daki �ekilde yaz�labilir:

�(33)

(33) nolu denklemde sisteme ait s�n�r �artlar�na M₁=V₁=M₅=V₅=0 yaz�l�rsa,

�� (34)

elde edilir. (34) nolu denklemde gerekli indirgemeler yap�l�rsa,

�� (35)

elde edilir. Buradan, y₁ = -0.0000707 ve θ₁ = 0.0001597 dir. Bu de�erler (30) nolu denklemde yerine yerle�tirilirse,

�� (36)

y_2(sa�) = -0.0063 m. _,θ_2(sa�) = -0.0022, M_2(sa�) = 36.9274 kNm ve V_2(sa�) = -86.5916 kN de�erleri bulunabilir. Bunlar (31) nolu ba��nt�da yerine yerle�tirilirse,

�� (37)

Buradan y_3(sol) = -0.0079 m._,θ_3(sol) = 0, M_3(sol) = 30.4291 kNm ve V_3(sol)=-84.7648 kN elde edilebilir. Elde edilen sonu�lar�n G�lkan ve Alamdar (1994)�de verilen de�erler ile kar��la�t�r�lmas� Tablo 1�de verilmi�tir.

Tablo 1. Referanstan (G�lkan ve Alemdar,1994) al�nan �rnek ve bu �al��mada elde sonu�lar�n kar��la�t�r�lmas�

Table 1. Comparison of� example in referance (G�lkan and Alemdar,1994) and the obtained values in this study

Bilinmeyenler	Referans 2 (4 eleman )	Bu �al��ma (4 eleman)	G�receli Hata (%)
A noktas�ndaki deplasman (mm.)	7.8573	7.9000	0.54
A noktas�ndaki moment (kNm.)	30.525	30.429	-0.31

Say�sal �rnek 2

G�lkan ve Alemdar (1994)�den al�nan ve �ekil 3�de kesiti g�r�len elastik zemine oturan kiri�in kesit ve malzeme �zellikleri a�a��da verilmi�tir.

K = 600 kN/m^{2��}EI = 180 kN/m^2��L = 2 m.

Verilen �rne�e ait kritik burkulma y�k�, referans (G�lkan ve Alemdar,1994)�de sonlu elemanlar y�ntemiyle 2, 4, 6 ve 8 par�al� olarak ��z�lm��t�r. Bu �al��mada sunulan y�ntemle yap�lan ��z�mde ise, sistem iki par�al� olarak ��z�lm�� ve bunun sonucunda iki par�al� ��z�m�n referans (G�lkan ve Alemdar, 1994)�de yap�lan 8 par�al� sonuca �ok yak�n sonu� verdi�i g�r�lm��t�r. A�a��da sonu�lar bir tablo halinde sunulmu�tur.

�ekil 4. Say�sal �rnek 2.

Figure 4. Numerical sample 2.

Tablo 2. Referanstan [G�lkan ve Alemdar,1994]�ten al�nan �rnek ve bu �al��mada elde sonu�lar�n kar��la�t�r�lmas�.

Table 2. Comparison of� example in referance [G�lkan and Alemdar,1994] and the obtained values in this study.

Bilinmeyenler	Referans 1 (8 eleman)	Bu �al��ma (2 eleman)	G�receli Hata (%)
Kritik burkulma y�k� (kN)	343.77	343.69	-0.023

Yap�lan ��z�mde, �nce her elemana ait ikinci mertebe stabilite ta��ma matrisleri (18), (19) ve (21) nolu ba��nt�larla hesaplan�r. Ba��nt�lardan de g�r�ld�� gibi, ta��ma matrisleri P eksenel kuvvetin bir fonksiyonudur. G�z �n�ne al�nan kiri�te �nce, ba�lang�� ve biti� noktas� aras�ndaki ili�ki, P�nin bir fonksiyonu olarak yaz�l�r. Daha sonra, yaz�lan bu e�itlikte, g�z �n�ne al�nan sisteme ait s�n�r �artlar� olan ankastre u�ta deplasman ve d�nmenin s�f�r olmas� dikkate al�n�rsa, nontrivial ��z�m� veren bir ba��nt� elde edilir. Buradan bu ba��nt�y� sa�layan en k��k P de�eri sistemin kritik burkulma y�k�n� verecektir. Tablo 2�de referans (G�lkan ve Alemdar, 1994)�de verilen ve bu �al��mada elde edilen sonu�lar kar��la�t�r�lm��t�r.Say�sal �rnek 3

�atal ve Alku (1996)�dan al�nan ve �ekil 5�de kesiti g�r�len elastik zemine oturan kiri�in kesit ve malzeme �zellikleri a�a��da verilmi�tir.

K = 1.10⁸ N/m²,�� EI = 1.10⁹ kN/m²,�� L = 6 m.

Verilen �rne�e ait 1 nolu d��m noktas�ndaki deplasman ve 2 nolu d��m noktas�ndaki moment de�erleri bu �al��mada sunulan ta��ma matrisi y�ntemiyle ��z�lm��t�r. Bu �al��mada sunulan y�ntemle yap�lan ��z�mde, sistem iki par�al� olarak ��z�lm�� ve bunun sonucunda iki par�al� ��z�m�n referans (�atal ve Alku, 1996)�da yap�lan 2 par�al� sonuca �ok yak�n sonu� verdi�i g�r�lm��t�r. A�a��da sonu�lar bir tablo halinde sunulmu�tur.

100.10⁴N

25.10⁴N

�k

�� ekil 5. Say�sal �rnek 3.

�� Figure 5. Numerical sample 3.

Tablo 3. Referanstan [�atal ve Alku,1996] al�nan �ve bu �al��mada elde sonu�lar�n kar��la�t�r�lmas�.

Table 3. Comparison of first example in referance [�atal and Alku,1996] and the obtained values in this study.

Bilinmeyenler	Referans 1 (2 eleman )	Bu �al��ma (2 eleman)	G�receli Hata (%)
1 noktas�ndaki deplasman (mm.)	6.22	6.2	-0.32
2 noktas�ndaki moment (Nm.)	115.19*10⁴	114.03*10⁴	-1

SONU�

Bu �al��mada, elastik zemine oturan kiri�lerin statik ve stabilite analizi i�in ta��ma matrisi y�ntemini esas alan bir yakla��m sunulmu�tur. Yakla��m, sonlu elemanlar y�ntemine g�re daha k�sa s�rede programlanabilmektedir. �al��man�n sonunda, literat�rden al�nan �rneklerin ��z�m�nden sunulan yakla��m�n yeterli do�rulukta oldu�u g�r�lm��t�r. Elde edilen sonu�lara dayanarak, sunulan y�ntemin gerek �n boyutland�rma a�amas�nda, gerekse kesin hesap a�amas�nda g�venle kullan�labilece�ine inan�lmaktad�r.

�

KAYNAKLAR

�atal, H.H. ve Alku, S., 1996, Elastik Zemine Oturan �ubu�un �kinci Mertebe Rijitlik Matrisinin Hesab�, T�rk M�hendislik ve �evre Bilimleri Dergisi, T�B�TAK, 20, 195-201.

G�lkan, P. ve Alemdar, B.M., 1994, Elastik zemine oturan kiri�ler i�in sonlu elemanlar, Yap� Mekani�i Semineri 94�, Dumlup�nar �niversitesi, No. 2.

Hanselman D. ve Littlefield B., 1996, Mastering MATLAB, Prentice-Hall, New Jersey, 542 s.

Hetenyi, M., 1946, Beams on Elastic Foundations, University of Michigan Press, Michigan, 255 s.

Keskinel, F. ve Kumbasar, N., 1976, S�rekli Temeller ve D�nel Kabuklar, �.T.�. Matbaas�, �stanbul, 260 s.

Madde Ölçümleri

Ölçüm Çağırılıyor ...

_{Metrics powered by PLOS ALM}

Refback'ler

Şu halde refbacks yoktur.

Telif Hakkı (c)

Tarayan Veri Tabanları

Kullanıcı Adı
Şifre
Beni hatırla