ELASTÝK ZEMÝNE OTURAN KÝRÝÞLERÝN TAÞIMA MATRÝSÝ YÖNTEMÝ ÝLE BÝRÝNCÝ VE ÝKÝNCÝ MERTEBE STATÝK ANALÝZÝ

ELASTÝK ZEMÝNE OTURAN KÝRÝÞLERÝN TAÞIMA MATRÝSÝ YÖNTEMÝ ÝLE BÝRÝNCÝ VE ÝKÝNCÝ MERTEBE STATÝK VE STABÝLÝTE ANALÝZÝ

 

Kanat Burak BOZDOÐAN, Alper SEZER ve Pelin AKLIK

Ege Ünv. Müh Fak. Ýnþaat Müh. Böl.

kanat@eng.ege.edu.tr,  asezer@bornova.ege.edu.tr, pelinaklik@mynet.com

 

Makalenin Geliþ Tarihi: 27.02.2004

 

ÖZET :Bu çalýþmada elastik zemine oturan kiriþlerin birinci ve ikinci mertebe statik analizi için taþýma matrisi yöntemini temel alan bir yöntem sunulmuþtur. Elastik zemine oturan kiriþlerin yük altýndaki davranýþýnýn Winkler hipotezine uyduðu kabulü yapýlmýþtýr. Çalýþmanýn sonunda sunulan yaklaþýmýn matris-deplasman yöntemine yakýnsaklýðýný araþtýrmak üzere literatürden alýnan iki adet örnek sunulmuþtur.

 

Anahtar kelimeler: Taþýma matrisi, Winkler hipotezi, elastik zemine oturan kiriþ.

 

 

First and Second Order Static and Stability Analysis of Beams on Elastic Foundations Using Transfer Matrix Method

 

ABSTRACT: In this study, a method based on transfer matrix method for the first and second order statical analysis of beams on elastic foundations is presented. It is assumed that the behavior of beams under loading is in agreement with the Winkler hypothesis. At the end of the study, two examples quoted from the literature are presented in order to investigate the advantage of the method to matrix-displacement method.

 

Key words: Transfer matrix, Winkler hypothesis, beams on elastic foundations.

 

 


GÝRÝÞ

 

Elastik zemine oturan kiriþlerin statik ve dinamik hesabýna yönelik olarak literatürde birçok çalýþma mevcuttur. Bunlardan konunun baþlýca eserlerinden birisi Hetenyi’nin kitabý hiç þüphesiz ki en baþta gelmektedir (Hetenyi, 1946). Ülkemizde de bu konuda özellikle Çatal ve  Alku (1996), Gülkan ve Alemdar (1994) ve Keskinel ve Kumbasar (1976)’ýn çalýþmalarý dikkate deðerdir. Sözü edilen çalýþmalarda sonlu elemanlar yöntemi ve sonlu farklar yöntemi kullanýlmýþtýr. Bu çalýþmada ise elastik zemine oturan kiriþlerin birinci ve ikinci mertebe statik hesabý için taþýma matrisi yöntemine dayanan bir yaklaþým sunulmuþtur. Çalýþmada, taþýma matrislerinin elde edilmesinde;

a) Malzemenin lineer-elastik olduðu,

b) Zeminin yük altýndaki davranýþýnýn Winkler hipotezine uyduðu

kabulleri yapýlmýþtýr.

Aþaðýda sýrasýyla birinci ve ikinci mertebe taþýma matrislerinin elde edilmesinde izlenen yol sunulmuþtur.

 

BÝRÝNCÝ MERTEBE TAÞIMA MATRÝSÝ

 

Bir kiriþ elemanýnýn elastik bir ortamda sürekli olarak mesnetlenmesi halinde elemanýn elastik eðrisine ait diferansiyel denklem aþaðýdaki gibi verilmektedir :


 

 

Þekil 1. Elastik zemine oturan kiriþ üzerinde yayýlý yük.

Figure 1. Distributed load over elastic soil.

 


                                                  (1)

 

Burada,

EI            :Kiriþ elemanýnýn eðilme rijitliðini,

y             :Kiriþin elastik eðri fonksiyonunu,

z             :Kiriþ üzerindeki bir noktanýn baþlangýca olan uzaklýðýný,

q(z)        :Kiriþ üzerindeki yayýlý yük fonksiyonunu göstermektedir (Þekil 1).

 

Burada k, elastik zemine oturan b geniþlikli kiriþin altýndaki zeminin yatak katsayýsýný göstermektedir. Böylece (1) nolu diferansiyel denklem, q(z)=0 durumunda,

 

                                                       (2)

 

þeklinde dördüncü mertebeden homojen bir adi diferansiyel denklem elde edilir. (2) nolu diferansiyel denklemin çözümü

 

                            (3)

 

þeklindedir. Burada,

 

                                                                   (4)

 

þeklinde verilen bir sabiti göstermektedir. (2) nolu elastik eðri ifadesinden yararlanýlarak sýrasýyla dönme, moment ve kesme kuvveti ifadeleri aþaðýdaki gibi elde edilirler

 

                   (5)

 

               (6)

 

                  (7)

 

Yukarýdaki (3), (5), (6) ve (7) ifadelerinde yer alan þekil deðiþtirme, dönme, moment ve kesme kuvveti ifadeleri matris formda aþaðýdaki gibi yazýlabilir:

 

                                                   (8)

 

Burada A1 matrisinin elemanlarý sýrasýyla,

 

 

 

 

 

olarak yazýlabilir. Kiriþ elemanýnýn baþlangýç noktasý için (8) nolu eþitlik,

 

                                             (9)

 

þeklinde yazýlýr. Burada A1(z=0)’ýn elemanlarý,

 

       

 

      

 

þeklindedir. Buradan (9) nolu baðýntýda yer alan katsayýlar vektörü çekilirse,

 

                                         (10)

elde edilir. Bu ifade (8) nolu ifadede yerine yerleþtirilirse,

 

                                      (11)

 

elde edilir. Burada yer alan Ti= ifadesi i nolu kiriþ parçasý için birinci mertebe taþýma matrisidir.

 

STABÝLÝTE TAÞIMA MATRÝSÝNÝN ELDE EDÝLMESÝ

 

Bu çalýþmada sunulan yöntem ile elastik zemine oturan kiriþlerin stabilite analizi için kullanýlacak stabilite taþýma matrisi, önceki bölümde açýklananlara benzer olarak elde edilebilir. Yukarýda yapýlan iþlemlere eksenel normal kuvvet de ilave edilirse, ikinci mertebe etkiler de iþlemlere dahil edilmiþ olunur. Bu durumda (2) nolu diferansiyel denklem kiriþ parçasý boyunca sabit olan N eksenel normal kuvvetin de dikkate alýnmasýyla,

 

                                     (12)

 

halini alýr. Burada N çekme durumunda pozitif, basýnç durumunda b,negatif iþaret alýr. (12) nolu diferansiyel denklem, N’in iþareti dikkate alýnarak

 

                                              (13)

 

þeklinde yazýlabilir. Böylece (13) nolu karakteristik denklemden yararlanýlarak (12) nolu diferansiyel denkleminin çözümü,

 

               (14)

 

olur. Burada D1, D2, D3 ve D4 sýrasýyla (13) nolu karakteristik denklemin kökleridir. (14) nolu þekil deðiþtirme fonksiyonundan yararlanarak birinci mertebe taþýma matrisinin elde edilmesine benzer þekilde, sýrasýyla dönme, moment ve kesme kuvveti deðerleri aþaðýdaki gibi elde edilebilir:

 

                                    (15)

 

      (16)

 

                             (17)

 

(14), (15), (16) ve (17) nolu ifadeler, matris formunda aþaðýdaki gibi yazýlabilir:

 

                                                 (18)

 

Burada A matrisinin elemanlarý sýrasýyla,

 

 

 

 

 

olarak yazýlabilir. Kiriþ elemanýnýn baþlangýç noktasý için (18) nolu eþitlik,

 

                                  (19)

 

þeklinde yazýlýr. Burada A2(z=0)’ýn elemanlarý,

 

                   

 

 

 

 

olur. Buradan (19) nolu baðýntýda yer alan katsayýlar vektörü çekilirse,

 

                                        (20)

 

elde edilir. Bu ifade (18) nolu ifadede yerine yerleþtirilirse,

 

                                (21)

 

elde edilir. Burada yer alan  çarpýmý i nolu kiriþ için stabilite taþýma matrisidir ve

 

                                                  (22)

 

þeklinde gösterilir.

 

DÜÞEY YÜKLER ETKÝSÝNDE STATÝK ANALÝZ

 

Önceki bölümde elde edilen birinci ve ikinci mertebe stabilite taþýma matrisleri kullanýlarak elastik zemine oturan kiriþlerin düþey yükler etkisindeki statik analiz prosedürü aþaðýda açýklanmýþtýr. Ardýþýk kiriþ parçalarý arasýndaki baðlantýyý saðlayan Ti ( TIi , TIIi) eleman taþýma matrisi ile deplasmanlar ve uç kuvvetleri arasýndaki iliþki,

 

                                           (23)

 

denklemi ile saðlanabilir. Buradaki Fi, i nolu kiriþ parçasýnýn bitiþ ucundaki düþey dýþ yükü kapsar ve

 

                                                              (24)

 

vektörü ile tarif edilebilir. (23) numaralý denklem her bir eleman için yazýlýp ardýþýk olarak uygulanýrsa, elastik zemine oturan kiriþin baþlangýç ile bitiþ ucu arasýnda aþaðýda verilen  iliþki elde edilebilir.

 

 (25)

Bu denklemde; n, eleman sayýsý,  k ve s ise sýrasý ile baþtan itibaren s+1 ve s inci elemanlardýr.

 

ve                   (26)

 

Gerekli kýsaltmalar yapýlýrsa,

 

                                           (27)

 

elde edilir. (27) denkleminden, sýnýr þartlarý dikkate alýnarak bilinmeyenler elde edilir. Sýnýr þartlarý yardýmýyla baþlangýçta bilinmeyen olan deplasman,dönme,kesme kuvveti veya moment deðerleri (23) ifadesinde yerlerine yazýlýrsa, her bir düðüm noktasýndaki bilinmeyenler ( yi, qi, Mi, Vi ) tayin edilebilir.

 

KRÝTÝK BURKULMA YÜKÜNÜN TAYÝNÝ

 

Aþaðýda, elastik zemine oturan kiriþlerin kritik burkulma yükünün önceki bölümde verilen  (21) baðýntýsý yardýmýyla nasýl bulunacaðý açýklanmýþtýr. Buna göre, elastik zemine oturan kiriþin baþlangýç ve son noktalarý arasýndaki iliþki stabilite durumunda aþaðýdaki gibi yazýlabilir

 

                                      (28)

 

Yukarýdaki denklemde  kabul edilirse, denklemin sýnýr þartlarýný hesaba katarak nontrivial çözümünü saðlayan en küçük N deðeri sistemin kritik burkulma yükünü vermektedir.

BÝLGÝSAYAR PROGRAMININ AKIÞ DÝYAGRAMI

 

Aþaðýda bu çalýþmada sunulan yöntemin sayýsal uygulamalarý için geliþtirilen bilgisayar programýnýn akýþ diyagramý verilmiþtir. Bu çalýþmada sunulan programýn hazýrlanmasýnda MATLAB 6.5 paket programý kullanýlmýþtýr.

 

ÖRNEKLER

 

Bu çalýþmada sunulan yöntemin yaklaþýklýðýný göstermek üzere Literatürden alýnan iki sayýsal örnek çözülmüþtür. Literatürden alýnan örnekler ve kýyaslama sonuçlarý aþaðýda verilmiþtir.

Sayýsal Örnek 1

 

Referans (Gülkan ve Alemdar, 1994)’den alýnan örnekte Þekil 3’de görülen elastik zemine oturan kiriþin kesit ve malzeme özellikleri aþaðýda verilmiþtir.

 

K = 14 N/mm2  , E = 200000 N/mm2                                                                                                                                                                                                         

I = 36900000 mm4

 

Söz konusu referansta verilen örnek, bu çalýþmada sunulan yöntemle de çözülmüþ ve sonuçlar karþýlaþtýrýlmýþtýr.

Çözüm aþaðýda aþamalý olarak ele alýnmýþtýr. Öncelikle, her eleman için (8) nolu baðýntýda yer alan A1, (9) nolu baðýntýda yer alan A0 ve (11) nolu baðýntýda yer alan T taþýma matrisleri program dahilinde oluþturulmuþtur.

 


 


Þekil 2. Yöntemin bilgisayar programýna ait akýþ þemasý.

Figure 2. Computer program flow chart of the method.

 


 

Þekil 3. Sayýsal örnek 1.

Figure 3. Numerical sample 1.

 


(1) ve (4) nolu elemanlar için;

β=0.8299,

 

A =  106

A0 =  104

T= 105

 

(2) ve (3) nolu elemanlar için,

β=0.8299, 

 

A = 104

A0 = 104

T = 104

 

(1) nolu düðüm noktasýndaki bilinmeyenlerle (2) nolu düðüm noktasýnýn sol ucu  bilinmeyenler arasýndaki iliþki, aþaðýdaki gibi yazýlabilir:

 

            (29)

 

(2) nolu düðüm noktasýnýn sað ucu için, (2) nolu düðüm noktasýndaki kuvvet dikkate alýnýrsa, bu durumda, aþaðýdaki ifade yazýlabilir:

 

            (30)

(2) nolu elemana ait taþýma matrisinden yararlanýlarak aþaðýdaki baðýntýyla (3) nolu düðüm noktasýnýn soluna aþaðýdaki baðýntýyla geçilebilir:

 

   (31)

2 elemanýnýn saðýna ait vektör yerine (30) nolu baðýntýdaki eþiti yazýlýrsa,

 

            (32)

 

Ýþlemler bundan sonra da diðer elemanlar için benzer þekilde yapýlýrsa, (1) nolu düðüm noktasýyla (5) nolu düðüm noktasý arasýndaki iliþki aþaðýdaki þekilde yazýlabilir:

 

 (33)

 

(33) nolu denklemde sisteme ait sýnýr þartlarýna M1=V1=M5=V5=0 yazýlýrsa,

 

    (34)

elde edilir. (34) nolu denklemde gerekli indirgemeler yapýlýrsa,

 

           (35)

 

elde edilir. Buradan, y1 = -0.0000707 ve θ1 = 0.0001597 dir. Bu deðerler (30) nolu denklemde yerine yerleþtirilirse,

 

    (36)

 

y2(sað) = -0.0063 m. , θ2(sað) = -0.0022, M2(sað) = 36.9274 kNm ve V2(sað) = -86.5916 kN deðerleri bulunabilir. Bunlar (31) nolu baðýntýda yerine yerleþtirilirse,

 

   (37)

 

Buradan y3(sol) = -0.0079 m., θ3(sol) = 0, M3(sol) = 30.4291 kNm ve V3(sol)=-84.7648 kN elde edilebilir. Elde edilen sonuçlarýn Gülkan ve Alamdar (1994)’de verilen deðerler ile karþýlaþtýrýlmasý Tablo 1’de verilmiþtir.


 

Tablo 1. Referanstan (Gülkan ve Alemdar,1994) alýnan örnek ve bu çalýþmada elde sonuçlarýn karþýlaþtýrýlmasý

Table 1. Comparison of  example in referance (Gülkan and Alemdar,1994) and the obtained values in this study

Bilinmeyenler

Referans 2 (4 eleman )

Bu çalýþma (4 eleman)

Göreceli Hata (%)

A noktasýndaki deplasman (mm.)

7.8573

7.9000

0.54

A noktasýndaki moment (kNm.)

30.525

30.429

-0.31

 

 


Sayýsal Örnek 2

 

Gülkan ve Alemdar (1994)’den alýnan ve Þekil 3’de kesiti görülen elastik zemine oturan kiriþin kesit ve malzeme özellikleri aþaðýda verilmiþtir.

K = 600 kN/m2     EI = 180 kN/m2    L = 2 m.

Verilen örneðe ait kritik burkulma yükü, referans (Gülkan ve Alemdar,1994)’de sonlu elemanlar yöntemiyle 2, 4, 6 ve 8 parçalý olarak çözülmüþtür. Bu çalýþmada sunulan yöntemle yapýlan çözümde ise, sistem iki parçalý olarak çözülmüþ ve bunun sonucunda iki parçalý çözümün referans (Gülkan ve Alemdar, 1994)’de yapýlan 8 parçalý sonuca çok yakýn sonuç verdiði görülmüþtür. Aþaðýda sonuçlar bir tablo halinde sunulmuþtur.


 

 

Þekil 4. Sayýsal örnek 2.

Figure 4. Numerical sample 2.

 

Tablo 2. Referanstan [Gülkan ve Alemdar,1994]’ten alýnan örnek ve bu çalýþmada elde sonuçlarýn karþýlaþtýrýlmasý.

Table 2. Comparison of  example in referance [Gülkan and Alemdar,1994] and the obtained values in this study.

Bilinmeyenler

Referans 1 (8 eleman)

Bu çalýþma (2 eleman)

Göreceli Hata (%)

Kritik burkulma yükü (kN)

343.77

343.69

-0.023

 

 


Yapýlan çözümde, önce her elemana ait ikinci mertebe stabilite taþýma matrisleri (18), (19) ve (21) nolu baðýntýlarla hesaplanýr. Baðýntýlardan de görüldüðü gibi, taþýma matrisleri P eksenel kuvvetin bir fonksiyonudur. Göz önüne alýnan kiriþte önce, baþlangýç ve bitiþ noktasý arasýndaki iliþki, P’nin bir fonksiyonu olarak yazýlýr. Daha sonra, yazýlan bu eþitlikte, göz önüne alýnan sisteme ait sýnýr þartlarý olan ankastre uçta deplasman ve dönmenin sýfýr olmasý dikkate alýnýrsa, nontrivial çözümü veren bir baðýntý elde edilir. Buradan bu baðýntýyý saðlayan en küçük P deðeri sistemin kritik burkulma yükünü verecektir. Tablo 2’de referans (Gülkan ve Alemdar, 1994)’de verilen ve bu çalýþmada elde edilen sonuçlar karþýlaþtýrýlmýþtýr.Sayýsal Örnek 3

Çatal ve Alku (1996)’dan alýnan ve Þekil 5’de kesiti görülen elastik zemine oturan kiriþin kesit ve malzeme özellikleri aþaðýda verilmiþtir.

 

K = 1.108 N/m2,       EI = 1.109 kN/m2,      L = 6 m.

 

Verilen örneðe ait 1 nolu düðüm noktasýndaki deplasman ve 2 nolu düðüm noktasýndaki moment deðerleri bu çalýþmada sunulan taþýma matrisi yöntemiyle çözülmüþtür. Bu çalýþmada sunulan yöntemle yapýlan çözümde, sistem iki parçalý olarak çözülmüþ ve bunun sonucunda iki parçalý çözümün referans (Çatal ve Alku, 1996)’da yapýlan 2 parçalý sonuca çok yakýn sonuç verdiði görülmüþtür. Aþaðýda sonuçlar bir tablo halinde sunulmuþtur.


 

 

 

 

100.104N

 

100.104N

 

25.104N

 

25.104N

 

3

 

 k

 

2

 

1

 

3m

 

 

j

 

3m

 

                                                 Þekil 5. Sayýsal örnek 3.

                                                 Figure 5. Numerical sample 3.

 

Tablo 3. Referanstan [Çatal ve Alku,1996] alýnan  ve bu çalýþmada elde sonuçlarýn karþýlaþtýrýlmasý.

Table 3. Comparison of first example in referance [Çatal and Alku,1996] and the obtained values in this study.

Bilinmeyenler

Referans 1 (2 eleman )

Bu çalýþma (2 eleman)

Göreceli Hata (%)

1 noktasýndaki deplasman (mm.)

6.22

6.2

-0.32

2 noktasýndaki moment (Nm.)

115.19*104

114.03*104

-1

 

 


SONUÇ

 

Bu çalýþmada, elastik zemine oturan kiriþlerin statik ve stabilite analizi için taþýma matrisi yöntemini esas alan bir yaklaþým sunulmuþtur. Yaklaþým, sonlu elemanlar yöntemine göre daha kýsa sürede programlanabilmektedir. Çalýþmanýn sonunda, literatürden alýnan örneklerin çözümünden sunulan yaklaþýmýn yeterli doðrulukta olduðu görülmüþtür. Elde edilen sonuçlara dayanarak, sunulan yöntemin gerek ön boyutlandýrma aþamasýnda, gerekse kesin hesap aþamasýnda güvenle kullanýlabileceðine inanýlmaktadýr.

 


 

 

KAYNAKLAR

 

Çatal, H.H. ve Alku, S., 1996, Elastik Zemine Oturan Çubuðun Ýkinci Mertebe Rijitlik Matrisinin Hesabý, Türk Mühendislik ve Çevre Bilimleri Dergisi, TÜBÝTAK, 20, 195-201.

Gülkan, P. ve Alemdar, B.M., 1994, Elastik zemine oturan kiriþler için sonlu elemanlar, Yapý Mekaniði Semineri 94’, Dumlupýnar Üniversitesi, No. 2.

Hanselman D. ve Littlefield B., 1996, Mastering MATLAB, Prentice-Hall, New Jersey, 542 s.

Hetenyi, M., 1946, Beams on Elastic Foundations, University of Michigan Press, Michigan, 255 s.

Keskinel, F. ve Kumbasar, N., 1976, Sürekli Temeller ve Dönel Kabuklar, Ý.T.Ü. Matbaasý, Ýstanbul, 260 s.

 

Madde Ölçümleri

Ölçüm Çağırılıyor ...

Metrics powered by PLOS ALM

Refback'ler

  • Åžu halde refbacks yoktur.


Telif Hakkı (c)



Tarayan Veri Tabanları

   ResearchBib 中国知网BASE Logo googleDirectory of Research Journals Indexing LogoOnline Access to Research in the EnvironmentDTUbroadcastlogo PBN - BETA versionjournal tocs uk ile ilgili görsel sonucuFind in a library with WorldCatDiscovery: Library search made simple. Return to JournalSeek Homejatstech ile ilgili görsel sonucuExLibris header imageStanford University LibrariesÂ