ORTA ANADOLU KAPALI HAVZASININ YILLIK ORTALAMA AKIMLARININ STOKASTİK MODELLEMESİ

Meral BÜYÜKYILDIZ

ORTA ANADOLU KAPALI HAVZASI� NDA YILLIK ORTALAMA AKIMLARIN STOKAST�K MODELLEMES�

ORTA ANADOLU KAPALI HAVZASININ YILLIK ORTALAMA AKIMLARININ

�STOKAST�K MODELLEMES�

Meral B�Y�KYILDIZ

S. �. M�h. Mim. Fak�ltesi, �n�aat M�hendisli�i B�l�m�, KONYA

Makalenin Geli� Tarihi: 06.04.2004

�ZET: Bu �al��mada, Orta Anadolu Kapal� Havzas��nda E�E taraf�ndan i�letilen 1611, 1612 ve 1622 numaral� ak�m g�zlem istasyonlar�nda �l��len y�ll�k ortalama ak�mlar�n stokastik modelleri kurulmu�tur. �stasyonlara ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n otoregressif (AR) ve otoregressif hareketli ortalama (ARMA) modellerinin metodolojisi verilerek matematiksel ifadeleri elde edilmi�tir. Korelogram ve k�smi korelogramlar�n incelenmesi neticesinde muhtemel otoregressif (AR) ve otoregressif hareketli ortalama (ARMA) model tipi hakk�nda bir �n de�erlendirme yap�lm��t�r. Yap�lan analizler sonucunda incelenen ak�m g�zlem istasyonlar�na ait y�ll�k ortalama ak�m serileri i�in her �� istasyonda da en uygun otoregressif modelin AR(1), 1611 ve 1612 numaral� istasyonlarda en uygun otoregressif hareketli ortalama modelin ARMA(1,1), 1622 numaral� istasyonda ise ARMA(2,1) oldu�u tespit edilmi�tir. Daha sonra kurulan modeller kullan�larak her bir istasyonun g�zlem periyodu ile ayn� N uzunlu�una sahip 50��er adet sentetik seri �retilmi�tir. Bu sentetik serilerin istatistiksel karakteristikleri (ortalama, standart sapma, �arp�kl�k katsay�s�, korelogram gibi) hesaplanm�� ve bunlar tarihi (orijinal) serinin istatistiksel karakteristikleri ile k�yaslanm��t�r. Sonu� olarak; her �� istasyonda da kurulan stokastik modellerin tarihi serilere ait istatistiksel karakteristikleri muhafaza etti�i g�zlenmi�tir.

Anahtar kelimeler: Ak�m, otoregressif model, korelogram, k�smi korelogram, stokastik

Stochastic Modeling of Annual Mean� Streamflows in Central Anatolia Closed Basin

ABSTRACT: In this study, stochastic models were determined for annual mean streamflows of gauging stations operated by EIE and numbered as 1611, 1612 and 1622 in Central Anatolia Closed Basin.For these stations, mathematical expressions were obtained by using the methods of analyses of autoregressive (AR) models and autoregressive moving average (ARMA) models for annual streamflow data. A preliminary study about possible AR and ARMA model types was made after examining the correlograms and partial correlograms. In conclusion, the AR(1) model was found to be suitable for annual mean streamflow series of the selected gauging stations. The best ARMA(p,q) model was also found as ARMA(1,1) model for stations 1611, 1612 and ARMA(2,1) model for station 1622. Then 50 synthetic series having the same N length period were generated for each gauging station by using the developed models. Statistical characteristics (mean, standard deviation, skewness coefficient, correlogram) of these synthetic series were calculated and compared with the statistical charasteristics of the historical (original) series. Consequently, it was observed that stochastic models established for the gauging stations of 1611, 1612 and 1622, preserved the statistical characteristics of the historical series.

Key words: Streamflow, autoregressive model, correlogram, partial correlogram, stochastic

G�R�� ve L�TERAT�R ARA�TIRMASI

S�rekli olarak artan d�nya n�fusuna paralel olarak suya olan ihtiya� da �nemli bir art�� g�stermektedir. Bu durum su ve su kaynaklar�n�n �nemini g�n ge�tik�e daha �ok art�rmaktad�r. Nehirler de en �nemli do�al su kaynaklar�d�r. Bu y�zden nehirlerin rasyonel kullan�m� bilimsel ara�t�rmalar�n temel konular� aras�ndad�r. Belirli bir zamanda, bir nehirdeki ak�m�n tam olarak b�y�kl��n� tahmin etmek hemen hemen imkans�z ya da �ok zordur. �lkenin su kaynaklar�n�n miktar ve kalite olarak potansiyelinin belirlenmesinde, su kaynaklar� y�netimi stratejilerinin ortaya konulmas�nda, su kaynaklar� projelerinin planlama, tasar�m, in�aat ve i�letilmesinde b�y�k �nem ta��yan hidrolojik �al��malar g�n�m�zde su kaynaklar� m�hendisli�inin temelini olu�turmaktad�r. Su kaynaklar�n� geli�tirme �al��malar�n�n h�zla s�rd�r�ld�� lkemizde hidrolojik model �al��malar� b�y�k �nem ta��maktad�r (Bayaz�t, 1998).

Su kaynaklar� sistemlerinin boyutland�r�lmas�nda ve i�letilmesinde kar��la��lan karar vermeye y�nelik problemlerde, sentez ve sim�lasyon gibi matematiksel yakla��mlara ihtiya� duyulur. Sim�lasyon, bir su kayna�� sisteminin belli bir periyot boyunca davran��n�n matematiksel tarzda ifadesi olarak tan�mlanabilir. Hidrolojik sim�lasyon modelleri �e�itli �ekillerde s�n�fland�r�lmalar�na ra�men ak�m modelleri ba�l�ca iki grup alt�nda toplan�r: (i) Hidrolojik sistemin deterministik veya fiziksel sim�lasyonu, (ii) Hidrolojik sistemin istatistiksel veya stokastik sim�lasyonu (Salas ve di�., 1980). Stokastik yakla��m eldeki tarihi serinin istatistiksel karakteristikleriyle ilgilidir. Bu t�r modeller aras�nda en kolay ve en yayg�n kullan�lanlar� otoregressif modellerdir. Pek �ok tipteki su projelerinin analizinde ve tasar�m�nda, ilgilenilen akarsudaki ak�m miktar�yla ilgili bilgilere ihtiya� duyulur. �o�u akarsularda, s�rekli olarak �l��m yap�lmas�na ra�men, ara�t�rmac�lar zaman zaman eldeki kay�tlar�n az ya da kullan�lamaz olmas� durumuyla kar��la�maktad�r. Bu durumda, sentez ve sim�lasyon metotlar� ile, analizlerde kullan�lmak �zere sentetik ak�m serileri �retilmektedir. Stokastik modeller genellikle sentetik serilerin �retilmesi ve gelece�e y�nelik tahmin amac�yla kullan�l�rlar. Sentetik ak�m serileri, hidrolojistlere gelecekteki muhtemel varyasyonlar� izleme ve pek �ok alternatifi de�erlendirerek �stlenilen riski azaltma imkan� vermektedir. �retilen serinin tarihi seriye ait istatistiksel karakteristikleri muhafaza etmesi gerekmektedir (Salas et al., 1980).

Zaman serisi modellemesi mevcut serinin karakteristiklerine ba�l� olarak basit ya da kompleks olabilir ve i�lem basamaklar� genel olarak �u basamaklardan olu�ur: Model tipinin se�imi, model derecesinin tan�mlanmas�, model parametrelerinin tahmini ve modelin g�venilirli�inin kontrol� (Box ve Jenkins, 1970).

Stokastik modellerle ilgili olarak d�nyada ve �lkemizde bir�ok �al��ma yap�lm��t�r. Nguyen ve Rousselle (1981), saatlik ya�� rasgele bir de�i�ken olarak kabul etmek suretiyle bu datalar�n olas�l�k da��l�mlar�n� elde etmek i�in stokastik bir model teklif etmi� ve bu metodu 32 y�ll�k saatlik ya�� kay�tlar� �zerinde deneyerek kullan�labilir oldu�u sonucuna varm��lard�r. Salas ve Obeysekera (1982), genelle�tirilmi� k�smi otokorelasyon fonksiyonunu ele alarak bu fonksiyon yard�m�yla ARMA modellerinin derecesinin belirlenebilece�ini g�stermi�lerdir. Te ve Singh (1994), otoregressif modellerin parametrelerinin hesab�nda kullan�lmak �zere yeni bir otokorelasyon fonksiyonu metodu teklif etmi� ve baz� durumlarda Yule-Walker denklemlerinden daha iyi sonu� verdi�ini g�stermi�lerdir. Ayr�ca teklif edilen modelin kullan�m�n�n AR(p) modelleri i�in daha kolay oldu�unu savunmu�lard�r.

Merzi ve di�. (1995), �oruh Havzas��nda Oltu Nehri�ne ait ayl�k ak�mlar�n stokastik modellemesini yapm��lard�r. Modelleme s�ras�nda AR(1), AR(2), AR(3) ve ARMA(1,1) modelleri denenmek suretiyle en uygun modelin ARMA(1,1) modeli oldu�una karar verilmi�tir. Karab�rk ve Kahya (1998) taraf�ndan yap�lan �al��mada, Seyhan Havzas�nda G�ksu Nehri �zerindeki 1801 nolu Himmetli Ak�m G�zlem �stasyonunda �l��len y�ll�k ve ayl�k ak�mlar�n otoregressif (AR) modelleri ve otoregressif hareketli ortalama (ARMA) modelleri kurulmu�tur. Yap�lan analizler sonucunda y�ll�k ak�mlar i�in AR(1) ve ARMA(2,1); ayl�k ak�mlar i�in PAR(2) ve PARMA(2,1) modellerinin en uygun modeller oldu�u g�r�lm��t�r. Ayr�ca ARMA modellerinin s�z konusu ak�m kay�tlar� i�in AR modellerinden hem y�ll�k bazda hem de ayl�k bazdaki sim�lasyonlarda daha iyi sonu� verdikleri de vurgulanm��t�r.

Kahya ve di�. (1998), Ye�il�rmak Havzas�nda E�E 1401, 1402, 1413 ve 1414 numaral� ak�m g�zlem istasyonlar�nda �l��len y�ll�k ortalama ak�mlar�n �ok de�i�kenli stokastik modeli kurmu�lard�r. �ncelenen istasyonlarda se�ilen modeller ile bunlar�n bir alt ve bir �st otoregressif modelleri aras�nda AIC (Akaike Bilgi Kriteri) de�erleri kullan�larak k�yaslama yap�lm�� ve minimum AIC de�erini veren (optimum) modeller s�ras�yla ARMA(2,1), ARMA(0,1), ARMA(3,1) ve ARMA(2,1) olarak belirlenmi�tir. Ayr�ca ayn� istasyonlardaki y�ll�k ortalama ak�mlar�n ARIMA(p,d,q) modelleri kurulmu�tur. �stasyon verileri normal da��ld�� i�in herhangi bir d�n��m yap�lmam�� ve serideki d��k frekansl� bile�enlerin yok edilmesi/azalt�lmas� i�in bir kez fark al�nm��t�r. Fark� al�nan seriler i�in ARIMA(2,1,1), ARIMA(0,1,1), ARIMA(3,1,1) ve ARIMA(2,1,1) modellerinin uygun oldu�u sonucuna var�lm��t�r.

Yi�it (1998), Sakarya Havzas� Ankara �ay� �zerindeki 1226 numaral� Me�ecik istasyonunun 28 y�ll�k ayl�k ve y�ll�k ak�mlar�n�n stokastik modellemesini yapm��t�r. Y�ll�k ak�mlar i�in =0.43 parametreli AR(1) modelinin en uygun model oldu�u tespit edilmi�tir. Ayl�k ak�mlar i�in ise en uygun model =0.8268 ve ��=-0.1239 otoregressif parametreli AR(2) modeli se�ilmi�tir.

Karab�rk ve Kahya (1999) taraf�ndan yap�lan �al��mada, Sakarya havzas�nda bulunan 12 ak�m g�zlem istasyonunda �l��len ayl�k ak�mlar�n �ok de�i�kenli periyodik otoregressif (PAR) ve periyodik otoregressif � hareketli ortalama (PARMA) modellerinin matematiksel ifadeleri elde edilmi�tir. Bu modellerin metodolojisi ayr�nt�l� olarak be� a�amada (�n analiz, parametrelerin tahmini, uygunluk testi, ilave testler ve parametrelerin g�venirlili�inin kontrol�) verilmi�tir. A��klamalar�n kolay anla��labilir olmas� i�in y�ll�k �ok de�i�kenli AR ve ARMA modellerinin metodolojileri �ncelikle ele al�nm��t�r.

Analizlere daha pratik oldu�u i�in PAR(1) modeli ile ba�lanm��, fakat bu modelin tarihi seriye ait �apraz korelasyon yap�s�n� muhafaza etmedi�i g�r�lm��t�r. �n analiz a�amas�nda tarihi seri korelogramlar�nda uzun d�nemli zaman ba��ms�zl�k yap�s� g�zlendi�inden modelleme i�lemlerine �ok de�i�kenli ARMA(1,1) modeli ile devam edilmi�tir. Bu modelin tarihi serilerin hem ayr� ayr� istatistiksel momentlerini hem de �apraz korelasyon yap�s�n� muhafaza etmesi sebebiyle Sakarya Havzas� i�in ge�erli bir model oldu�u g�sterilmi�tir.

Y�cel ve Topalo�lu (1999), Adana Meteoroloji �stasyonuna ili�kin uzun y�ll�k (1929-1990) g�nl�k minimum, ortalama ve maksimum s�cakl�k de�erlerinin zaman serisi analizi i�inde gidi�, periyodik ve stokastik bile�enlerini incelemi�tir. Zaman serisi analizi sonucunda gidi� bile�eninin bulunmad��, periyodik analiz sonucunda s�cakl�k serilerini ilk harmoniklerin a��klad�� g�r�lm�� ve stokastik analizde ise stokastik bile�enin ikinci mertebe otoregressif model ile a��klanabilece�i g�r�lm��t�r.

Y�rekli ve �zt�rk (2003), Kelkit Deresi g�nl�k ekstrem ak�mlar�n�n stokastik modellemesini yapt�� al��mas�nda �ncelikle Mann Kendall testini kullanarak g�nl�k ekstrem ak�mlarda herhangi bir trend olup olmad��n� incelemi� ve sonu�ta hi�bir trend bulamam��t�r. Bu nedenle ARIMA modeli yerine ARMA modelini kullanm��t�r. Otokorelasyon ve k�smi otokorelasyon fonksiyonlar�n� kullanarak, korelogram ve k�smi korelogramlar �izilmi� ve alternatif ARMA modelleri belirlenmi�tir. Korelogramlar�n incelenmesi neticesinde g�nl�k maksimum ak�mlar�n birbirine ba��ml� olmad��, g�nl�k minimum ak�mlar�n ise lineer ba��ml� oldu�u g�zlenmi�tir. Bu nedenle g�nl�k maksimum kay�tlar�n modellemesi yap�lmam��t�r. G�nl�k minimum ak�m kay�tlar� i�in korelogram ve k�smi korelogramlardan t�m diagnostik kontroller yap�larak d�rt ARMA modeli belirlenmi�tir. Schwarz Bayesian Kriteri (SBC) dikkate al�narak ARMA(1,0) modeli en uygun model olarak belirlenmi�tir. Yap�lan hata tahminleri neticesinde de Kelkit Deresi g�nl�k minimum ak�mlar�n� temsil eden en uygun modelin ARMA(1,0) modeli oldu�u tespit edilmi�tir.

�arlak ve �orman (2004), normal da��l�m d��nda genel lojistik ve gamma da��l�m� i�in d�zenlenmi� maksimum olabilirlik (MML) metotu ile AR(1) zaman serilerinin model parametrelerinin bulunmas� �zerinde durmu� ve maksimum olabilirlik metodu ile kar��la�t�rm��t�r. Ayr�ca bu metotlar EIE 1501 y�ll�k ak�m g�zlem istasyonu verilerine uygulanm��t�r. Her �� da��l�m (genel lojistik, gamma ve normal) i�in elde edilen model parametreleri ile kurulan AR(1) model yap�lar� kullan�larak yaz�lan bilgisayar program� ile elde edilen yapay seriler g�zlemlenmi� verilerle kar��la�t�r�lm��t�r.

�z�elik ve Benzeden (2004), taraf�ndan yap�lan �al��man�n ilk b�l�m�nde, T�rkiye�deki 45 do�al g�l�n ayl�k seviye kay�tlar� uyumsuzluk ve homojenlik a��s�ndan g�rsel olarak incelenmi�tir. Sadece 12 g�l�n kay�tlar� uyumlu hale getirilebilmi� ve birka� eksik g�zlem tamamlanm��t�r. Daha sonra, bu 12 g�ldeki ayl�k seviye kay�tlar�n�n yakla��k matematik yap�lar� nispi periyodogram ve otokorelasyon teknikleri kullan�larak saptanm��t�r.

�al��man�n �n sonu�lar�, ayl�k g�l seviyelerinin, ortalamalarda ve k�smen de standart sapmalardaki bir ka� harmonikle olduk�a iyi tan�mlanabilen periyodik bile�enler ile AR(1), AR(2), AR(3), ARMA (1,1) gibi do�rusal dura�an modellerle yeterli �l��de tan�mlanabilen stokastik bile�enlerden olu�tu�unu g�stermi�tir.

Bu �al��mada nehir ak�mlar�n�n modellenmesinde yayg�n olarak kullan�lan y�ll�k otoregressif (AR) ve (ARMA) modelleri ele al�narak modelin kurulma a�amalar� ad�m ad�m verilmi�tir.

MATERYAL VE METOT

Bu �al��mada, Orta Anadolu Kapal� Havzas�nda (�ekil 1) bulunan istasyonlar aras�ndan ak�nt�ya kar�� herhangi bir d�zenleme veya �evirmenin olmad�� ve uzun s�reli g�zlem periyoduna sahip olan 3 adet istasyona ait y�ll�k ortalama ak�m verileri kullan�lm��t�r.

Bu istasyonlar, �ar�amba �ay� �zerindeki 1611 numaral� Bozk�r, �brala �ay� �zerindeki 1612 numaral� Denircik ve Pe�enek�z� Deresi �zerindeki 1622 numaral� �erefliko�hisar ak�m g�zlem istasyonlar�d�r. Bu istasyonlara ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n stokastik modelleri (otoregressif model (AR) ve Otoregressif hareketli-ortalama modeli (ARMA)) kurulmu�tur. �al��mada kullan�lan veriler E�E ak�m g�zlem y�ll�klar�ndan al�nm��t�r ve y�ll�k ortalama ak�m de�erleri 1611 ile 1612 numaral� istasyonlar i�in 1962-2000, 1622 numaral� istasyon i�in ise 1969-2000 y�llar�n� kapsamaktad�r. Modelin metodolojisi i�in Salas ve di�. (1980)�nin �nerdikleri yol izlenerek gerekli form�lasyonlar verilmi� ve modellemeye ait i�lem basamaklar� ayr�nt�l� bir �ekilde a��klanm��t�r.

�ekil 1. Orta Anadolu Kapal� Havzas�.

Figure 1. Central Anatolia Closed Basin.

Y�ll�k Otoregressif Modeller (AR)

Otoregressif modeller 1960�l� y�llar�n ba�lar�ndan itibaren y�ll�k ve periyodik zaman serilerinin modellenmesi amac�yla hidrolojide ve su kaynaklar�n�n planlanmas�nda, zaman ba��ml�l�� gerektiren bir yap�ya sahip olmalar� ve basit bir modelleme �ekli olmas� a��s�ndan yayg�n olarak kullan�lm��t�r. Bu tipteki modeller sabit parametreli ya da zamanla de�i�en parametrelere sahip olabilece�i gibi, bunlar�n kombinasyonlar� �eklinde de olabilir. Sabit parametreli modeller y�ll�k serilerin modellenmesinde kullan�l�rken di�er tipteki modeller periyodik seriler i�in kullan�l�rlar.

Zaman ba��ml�l�� g�steren normal da��lm��, ortalamas� � ve varyans� σ² olan kararl� (stasyoner) bir y_t zaman serisi ele alal�m. Normal da��lm�� de�i�kenler bu �al��mada �y_t� notasyonu ile g�sterilmi�tir. AR(p) ile g�sterilen p derecesindeki bir otoregressif model a�a��daki gibi ifade edilir (Salas et al.,1980).

�� (1)

Yukar�daki (1) denklemindeki y_t zaman ba��ml�l�� olan bir de�i�keni, ε_t: ortalamas� s�f�r, varyans� �olan normal da��l�ma uyan zamandan ba��ms�z rastgele de�i�keni, ,�., otoregressif katsay�lar� ifade etmektedir. Y�ll�k serilerin modelleme a�amalar� a�a��da verilmi�tir;

�n analiz a�amas�nda; ilk olarak tarihi (orijinal) zaman serisinin normal da��l�p da��lmad�� kontrol edilmelidir. Bu test �arp�kl�k katsay�s� testi kullan�larak yap�labilir. Bu test sonucunda serinin normal da��lmad�� tespit edilirse, uygun bir transformasyon ile seri normal da��lm�� hale d�n��t�r�l�r. Daha sonra model derecesi hakk�nda bir �n de�erlendirme yapmak amac�yla kapal�, seri varsay�m�na dayal� (2) denklemi yard�m�yla seriye ait r_k otokorelasyon katsay�lar� hesaplan�r.

�� (2)

%95 olas�l�k seviyesi i�in Anderson limitleri ile birlikte hesaplanan otokorelasyon de�erlerinin k �telemesine g�re de�i�imini g�steren korelogram �izilir. Herhangi bir r_k de�erinin istatistiksel olarak �nemli ��kmas� durumunda, seride birbirleri aras�nda k kadar gecikme olan terimlerin birbiriyle ba��ml� olduklar� sonucuna var�l�r. Modelin otoregressif derecesinin belirlenmesinde kullan�lan di�er bir metot da, verilen bir modelin ya da serinin zamansal ba��ml�l��n� temsil eden k�smi otokorelasyon fonksiyonu ve bunun k�smi korelogram ile ifade edilmesidir. Seride N adet eleman varsa L=0.3N olacak �ekilde ,�.., terimlerinin hesaplanmas� k�smi korelogram�n �izilmesi i�in yeterli olur. k��nc� dereceden bir AR(k) s�recindeki k�smi otokorelasyon katsay�s� , ρ_j ve ρ_j-k (pop�lasyon otokorelasyon katsay�lar�) terimleri aras�ndaki lineer ili�kinin bir �l��s�d�r. Bir AR(k) modeli i�in a�a��daki farklar denklemini yazmak m�mk�nd�r.

(3)

Yukar�daki farklar denkleminden faydalanmak suretiyle, bir zaman serisinin k�smi otokorelasyon fonksiyonuna ait k. gecikme derecesindeki f_k(k) terimini elde etmek i�in, bir lineer denklem tak�m� olu�turulabilir ve buradan �vekt�r� elde edilerek sonuca gidilebilir. �de�erleri, alternatif olarak bu �al��mada da kullan�lan Durbin form�lleri ile de hesaplanabilir .

S�recin AR(p) modeli oldu�u hipotezi ile k>p i�in tahmin edilen (�rnekten hesaplanan) f_k(k); s�f�r ortalamas� ve 1/N olan varyans� ile asimptotik olarak normal da��l�ma uyar. B�ylece s�f�r k�smi otokorelasyon i�in (1-a) g�ven limitleri (4) denklemi ile hesaplan�r.

�� (4)

Burada, N �rnekteki eleman say�s�, a ise se�ilen �nem seviyesidir. u_1-_a_/2 ise 1-a/2 olas�l��ndaki standart normal de�i�kendir.

f_k(k) de�erlerinin k gecikme derecesine g�re de�i�imini veren korelogram�n �izilmesinden sonra (4) ifadesi ile hesaplanan g�ven limitleri de ayn� grafik �zerinde i�aretlenir. G�ven limitlerinden daha b�y�k de�erler alan f_k(k) terimlerinin istatistiksel a��dan �nemli oldu�u sonucuna var�l�r ve hangi gecikme derecelerinde kestikleri dikkate al�narak model derecesi i�in karar verilir.

Parametre tahmini a�amas�nda modele ait parametreler tahmin edilir ve bu parametrelerin kararl�l�k �artlar� kontrol edilir. Parametre tahmininde momentler, maksimum olabilirlik, en k��k kareler (Salas ve di�., 1980) ve otokorelasyon fonksiyonu (Te ve Sing, 1994) metotlar�ndan biri kullan�l�r. Bu �al��mada parametre tahmininde yayg�n ve basit bir kullan�m alan� oldu�u i�in momentler metodu kullan�lm��t�r. �lk olarak �rnek ortalamas� () ve varyans� () bulunarak ortalamadan sapmalar� ifade eden �serisi elde edilir. Se�ilen AR(p) modeline ait �otoregressif parametreleri a�a��da verilen denklemin ard��k kullan�m� ile hesaplan�r.

�� (5)

Daha sonra art�k seri varyans� olan �de�eri hesaplan�r. Sabit parametreli bir AR(p) modelinin kararl� olmas� i�in verilen karakteristik denklemin k�klerinin birim daire i�inde kalmas� gerekir (Salas ve di�., 1980).

Se�ilen modelin uygunluk testi i�in a�a��da verilen denklem yard�m�yla ε_t art�k serileri bulunur.

� �� (6)

E�er se�ilen modelin derecesi p=0 ise ε_t=z_t oldu�una dikkat edilmelidir. Daha sonra hesaplanan e_t art�k serilerinin ba��ms�zl�k kontrol� yap�l�r. Bu Port Monteau metodu ile yap�labilir. Bunun i�in a�a��daki denklem kullan�larak Q istatisti�i hesaplan�r:

�� (7)

Bu denklemde N �rne�in eleman say�s�, r_k(e) ise art�k serilerin (2) denklemi ile hesaplanan otokorelasyon katsay�lar�d�r. L ise g�z �n�ne al�nan en b�y�k gecikme de�eridir. Hesaplanan Q de�eri (L-p) serbestlik derecesindeki ve istenilen olas�l�ktaki c² (ki-kare) de�eri ile k�yaslan�r. Olas�l�k seviyesi olarak 1-a=0.95 almak yeterli olur. Q de�erinin c² de�erinden k��k olmas� durumunda art�k serilerin ba��ms�z oldu�u sonucuna var�l�r ve i�lemlere devam edilir. Aksi halde modelin derecesi p=p+1 al�narak geriye d�n�l�r. e_t art�k serilerinin �arp�kl�� da kontrol edilmelidir, fakat bu noktada inisiyatif kullanmak m�mk�nd�r (Salas ve di�., 1980). Se�ilen modelin derecesinin uygunlu�unu ara�t�rmak i�in Akaike Bilgi Kriteri (Akaike Information Criterion; AIC) kullan�l�r. Bunun i�in e�er se�ilen model AR(p) ise AR(p-1), AR(p) ve AR(p+1) modelleri aras�nda AIC de�erleri aras�nda bir k�yaslama yap�l�r ve a�a��daki denklem kullan�l�r:

�� (8)

Daha sonra bu �� model i�in hesaplanan AIC de�erleri k�yaslan�r ve minimum AIC de�erini veren model, en uygun model kabul edilir.

Modele ait ilave testler a�amas�nda, sentetik seriler �retilerek, bu sentetik serilerle tarihi serinin istatistiksel karakteristikleri (ortalama, standart sapma, �arp�kl�k katsay�s� ve korelogram gibi) kar��la�t�r�l�r. Bunun i�in kurulan AR(p) modeli ile (1) ifadesi kullan�larak, tarihi seri ile ayn� uzunlu�a sahip s�zgelimi 100 adet seri �retilir. Daha sonra her bir serinin istatistiksel karakteristikleri olan ortalama �(i), standart sapma σ(i), �arp�kl�k katsay�s� γ(i) ve korelogram r_k(i) hesaplan�r (i=1,.........,100). Hesaplanan sentetik serilere ait bu istatistiksel karakteristikler ile tarihi seriye ait �nceden hesaplanan istatistiki karakteristikler k�yaslan�r. Burada �rnek olarak korelogramlar�n k�yaslanmas� verilecektir. Her bir �teleme de�eri (k) i�in �nce r_k�lar�n �rnek ortalamas�, sonra r_k de�erlerinin �rnek standart sapmas� hesaplan�r. B�ylece r_k i�in g�ven aral�� ifadesi ile bulunur. Burada c katsay�s� testin �nem derecesine ba�l� olup bu �al��mada %5 �nem seviyesine kar��l�k gelen 1.96 de�eri se�ilmi�tir. Bu metot di�er istatistiksel karakteristiklerin mukayesesi i�in de kullan�labilir.

Bu kontrollerin sonucunda e�er bir ya da daha fazla tarihi karakteristi�in model taraf�ndan muhafaza edilmedi�i ortaya ��karsa, modeli kabul ya da reddetmek ara�t�r�c�n�n sonu�lar� ne derece �nemli buldu�una ba�l�d�r.

Y�ll�k Otoregressif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA)

Y�ll�k serilerin ARMA modelleri i�in y�ll�k AR modellerinde verilen prosed�r takip edilerek, �nce orijinal tarihi serinin normal da��l�p da��lmad�� kontrol edilir. Normal da��lmam�� seriler uygun bir transformasyon ile normal da��lm�� hale d�n��t�r�l�r. Daha sonra otokorelasyon ve k�smi otokorelasyon fonksiyonlar� elde edilerek �izilen korelogram ve k�smi korelogramlar yard�m� ile modelin derecesi i�in bir �n se�im yap�l�r. ARMA modeline ait otokorelasyon fonksiyonu AR modeline nazaran s�f�ra daha yava� yak�nsamaktad�r. Bu nedenle �izilen korelogram�n s�f�ra hemen birka� de�erden sonra yak�nsamamas� bir hareketli ortalama bile�enine, dolay�s�yla ARMA modeline i�aret eder. E�er herhangi bir q gecikme derecesinden sonra gelen b�t�n otokorelasyon de�erleri se�ilen g�ven s�n�rlar� i�erisinde ise, bu durum q derecesinden bir MA s�reci anlam�na gelir. Hareketli ortalama bile�eninin derecesi genellikle q=1 al�nmaktad�r. K�smi korelogramda k�smi otokorelasyon fonksiyonlar�n�n g�ven seviyesine ait s�n�rlar� kesti�i noktalar otoregressif bile�enin derecesini se�mek i�in �nemli bir ipucu verir. Bu �ekilde bir ARMA(p,q) modeline ait p ve q de�erleri belirlenmi� olur.

Serinin �ortalamas� ve �varyans� belirlendikten sonra, �serisi elde edilir. Se�ilen muhtemel modele ait �ve �parametrelerinin bulunmas� gerekmektedir. Bunun i�in Salas ve di�. (1980) ilk olarak bu parametrelere ait bir �n saptama yap�lmas�n� ve daha sonra bu de�erlerin kom�ulu�undaki �e�itli kombinasyonlar i�in art�k serilerin kareleri toplam�n�n hesaplanarak minimum de�eri veren kombinasyonun kesin parametreler olarak se�ilmesini �nermektedir. Box ve Jenkins (1970), ARMA(1,1) modeli i�in �ve �de�erlerinden hareketle �ve �parametrelerini pratik olarak bulmaya yarayan bir abak vermi�tir. Art�k serilerin karelerinin toplam� �form�l� ile ifade edilirse, minimum S de�erini veren [,] de�erleri model parametreleri olarak kullan�labilir. Bu �al��mada [,] de�erleri bilgisayar yard�m�yla optimizasyon i�lemi yap�larak elde edilmi�tir. Bu i�lem i�in, bilgisayar �ve �parametrelerini [-1,1] aral��nda de�i�tirecek �ekilde programlan�r ve bu aral�kta minimum S de�erini veren kombinasyona yak�nsamas� sa�lan�r. Bu, daha h�zl� ve g�venilir bir �ekilde sonuca gitmeyi sa�lamaktad�r. S ifadesindeki �art�k serileri ARMA(p,q) modelleri i�in a�a��daki (9) ifadesi ile hesaplan�r.

��

�� (9)

(9) denklemi ile �de�erleri hesaplan�rken ba�lang�� de�erleri p ya da q de�erlerinden hangisi b�y�k ise o de�ere kadar s�f�r al�n�r. Optimizasyon sonucu bulunan �de�erlerinin kararl�l�k �artlar�n�, �de�erlerinin ise invertibilite �artlar�n� sa�lamas� gerekmektedir (Salas ve di�., 1980). Modelin uygunluk testi i�in, minimum S de�erini veren �ve �parametreleri kullan�larak elde edilen �art�k serilerinin �nemli bir i�sel ba��ml�l�� olup olmad�� ara�t�r�l�r. Se�ilen muhtemel modelin, bir alt ve bir �st dereceli modeli ile k�yaslanmas� gerekir. Bu k�yaslama i�lemi i�in �denkleminden faydalan�l�r. Bu ifadede � dir. Se�ilen muhtemel modele ait AIC de�eri, bir alt ve bir �st modele ait AIC de�erlerinden �nemli derecede b�y�k ise modelin derecesi de�i�tirilir, k��k ise se�ilen model ile i�lemlere devam edilir. Modelin derecesi ve parametreleri bu �ekilde belirlendikten sonra a�a��da verile (10) denklemi ile sentetik z_t serisi elde edilerek y_t serilerine ge�ilir.

��

�� (10)

Daha sonra modelin tarihi seriye ait karakteristikleri muhafaza edip etmedi�i kontrol edilir. ARMA(p,q) modellerine ait �ve �parametrelerinin g�ven aral�klar�n�n hesaplanmas� da m�mk�nd�r (Salas ve di�., 1980).

ARA�TIRMA SONU�LARI

Y�ll�k Ak�mlar�n AR Modellemesi

�lk olarak her bir istasyona ait y�ll�k ortalama ak�m serilerinin normal da��l�p da��lmad��n� tespit etmek i�in ak�m serileri �arp�kl�k testine tabi tutulmu� ve elde edilen �arp�kl�k katsay�s� (γ) de�erleri Snedecor ve Cohran� taraf�ndan �nerilen (Salas ve di�., 1980) α=0.02 �nem seviyesindeki limit de�erleri [γ_α(N)] ile kar��la�t�r�lm��t�r ve sonu�lar Tablo 1�de verilmi�tir.

Tablo 1. Ak�m g�zlem istasyonlar�na ait �arp�kl�k katsay�s�lar�

Table 1. Skewness coefficienst of gauging stations.

�stasyon no	G�zlem s�resi (N, y�l)	�arp�kl�k katsay�s� (γ)	γ_α(N)
1611	39	-0.075	0.881
1612	39	0.232	0.881
1622	32	0.698	0.961

Tablo 1�de g�r�ld�� gibi �arp�kl�k katsay�s�(γ) de�erleri γ_α(N) de�erlerinden k��k oldu�u i�in �� istasyonda da y�ll�k ortalama ak�m serilerinin normal da��l�ma uygun oldu�u kabul edilmi�tir. Uygulanacak modelin derecesi hakk�nda fikir sahibi olabilmek i�in ak�m serilerine ait k=12�ye kadar otokorelasyon ve k�smi otokorelasyon katsay�lar� hesaplanm��t�r. S�z konusu istasyonlara ait korelogram ve k�smi korelogramlar 1611 numaral� istasyon i�in �ekil 2 ve 3�de, 1612 numaral� istasyon i�in �ekil 4 ve 5�de, 1622 numaral� istasyon i�in de �ekil 6 ve �ekil 7�de verilmi�tir.

1611 nolu istasyonun korelogram� (�ekil 2) incelendi�inde ak�m serilerine ait terimler aras�nda �nemli bir zaman ba��ml�l�� olmad�� g�r�lmektedir. K�smi korelograma (�ekil 3) g�re de k�smi otokorelasyon katsay�lar� istatistiksel a��dan �nemsizdir. Korelogram ve k�smi korelogram�n incelenmesi sonucunda 1611 nolu istasyona ait y�ll�k ortalama ak�mlar i�in AR(0) modeli uygun g�r�lm��t�r.

�ekil 2. 1611 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 2. Correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1611.

�ekil 3. 1611 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n k�smi korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 3. Partial correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1611.

�ekil 4. 1612 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 4. Correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1612.

�ekil 5. 1612 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n k�smi korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 5. Partial correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1612.

�ekil 6. 1622 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 6. Correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1622.

�ekil 7. 1622 nolu AGݒ ye ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n k�smi korelogram� ve %95 g�ven limitleri.

Figure 7. Partial correlogram and %95 confidence intervals of annual mean streamflows of gauging station with the number of 1622.

Bu istasyona ait k�smi korelogram�n da yakla��k birinci �telemede �nemli ��kmas� 1612 numaral� ak�m g�zlem istasyonuna ait y�ll�k ortalama ak�mlar i�in AR(1) modelinin muhtemel model oldu�unu g�stermektedir. 1622 numaral� ak�m g�zlem istasyonu i�in de hem korelogram (�ekil 6) hem de k�smi korelogram (�ekil 7) incelendi�inde ak�m serilerinin birbirine ba��ml� oldu�u g�r�lmektedir. Her iki �ekilde de korelogramlar�n birinci �telemede �nemli ��kmas� ak�m serilerini temsil eden muhtemel modelin AR(1) modeli oldu�unu i�aret etmektedir.

1612 numaral� ak�m g�zlem istasyonuna ait y�ll�k ortalama ak�mlar� temsil eden �ekil 4� deki korelogram incelendi�inde r₁ de�erinin istatistiksel a��dan �nemli oldu�u g�zlenmi�tir. Ak�m serisindeki ard��k de�erlerin birbirine ba��ml� olmas� ve r₁ de�erinin istatistiksel a��dan �nemli ��kmas� sebebi ile AR(1) modelinin ge�erli olabilece�i d��n�lm��t�r.

�ng�r�len modellere ait parametreleri tahmin etmek ve bu parametrelerin kararl�l�k �artlar�n� kontrol etmek amac�yla, her bir istasyonun ak�m serilerine ait ortalamalar () ve varyanslar () hesaplanm��, �denklemi ile z_t serisi elde edilmi�tir. Ak�m serilerine ait ortalamalar, varyanslar ve otoregressif parametreler Tablo 2�de verilmi�tir.

Tablo 2�deki de�erler dikkate al�nd��nda her �� istasyon i�in bulunan otoregressif parametrenin �1<<1 �art�na uydu�u ve sonu� olarak parametrelerin kararl�l�k �artlar�n� sa�lad�� g�r�lmektedir.

Se�ilen modelin uygunluk testlerinin yap�lmas� amac�yla �ncelikle her �� ak�m serisi i�in art�k seriler (ε_t) elde edilmi� ve bu serilerin ba��ms�zl�k testleri yap�lm��t�r. Bunun i�in �nce art�k serilerin korelogram� hesaplanm�� ve L=0.3N≈ 12 al�narak Porte Monteau metodu kullan�larak Q istatistikleri bulunmu� ve bu de�er (L-p) serbestlik derecesindeki ve %95 olas�l�ktaki �de�eri ile k�yaslanm��t�r. Ayr�ca ε_t art�k serilerinin normal da��l�p da��lmad�� da bu serilere ait �arp�kl�k katsay�s� de�erleri dikkate al�narak kontrol edilmi�tir. Bu i�lemlerin sonu�lar� Tablo 3�de verilmi�tir.

Tablo 2. Ak�m serilerine ait ortalamalar, varyanslar ve otoregressif parametreler.

Table 2. Means, variances and autoregressive parameters of streamflow series.

�stasyon no	Ortalama ()	Varyans ()	=r₁
1611	3.626	1.527	0.138
1612	2.394	0.979	0.303
1622	1.021	0.071	0.436

Tablo 3. Porte Monteau ve normalite testi sonu�lar�.

Table 3. Results of Porte Monteau and normality tests.

�stasyon no	Q	L-p		γ_ε	γ
1611	8.49	12	21	-0.075	0.881
1612	7.418	12	21	0.232	0.881
1622	4.322	11	19.68	0.271	0.961

Tablo 3�deki sonu�lar dikkate al�nd��nda her �� istasyon i�in bulunan Q de�erlerinin s�z konusu L-p de�erlerine g�re bulunan �de�erlerinden k��k oldu�u dolay�s� ile ε_t art�k serilerinin ba��ms�z oldu�una karar verilmi�tir. Tablo 3�deki γ_ε de�erleri de γ de�erlerinden k��k oldu�u i�in art�k serilerin normal da��ld�� kabul edilmi�tir.

1611 ve 1612 numaral� istasyonlar i�in se�ilen modelin bir �st, 1622 numaral� istasyon i�in se�ilen modelin ise bir alt ve bir �st modelleri aras�nda AIC (Akaike Bilgi Kriteri-Akaike Information Criterion) kullan�larak bir k�yaslama yap�lm��t�r. Bunun i�in 1611 numaral� ve 1612 numaral� istasyonlarda AR(1) modeli i�in, 1622 numaral� istasyonda ise AR(0) ve AR(2) modeli i�in art�k seri varyanslar� (σ_ε²) bulunmu�tur (Tablo 4).

Tablo 4. AR(p) modellerine ait art�k seri varyanslar�.

Table 4. White noise variances of AR(p) models.

�stasyon no	σ_ε²
�stasyon no	AR(0)	AR(1)	AR(2)
1611	1.527	1.538	--
1612	0.979	0.913	--
1622	0.071	0.060	0.061

Daha sonra her model i�in AIC de�erleri elde edilerek en k��k AIC de�erini veren model o istasyonun y�ll�k ortalama ak�mlar�n� temsil eden en uygun model olarak se�ilmi�tir (Tablo 5). Tablo 5�e g�re en k��k AIC de�erini veren model 1611 numaral� istasyonda AR(0), 1612 numaral� istasyonda AR(1) ve 1622 numaral� istasyonda ise AR(1) modelidir.

Tablo 5. AR(p) modellerine ait AIC de�erleri

Table 5. AIC values of AR(p) models

�stasyon no	AIC
�stasyon no	AR(0)	AR(1)		AR(2)
1611	16.515	18.778
1612	-0.821	-1.569
1622	-84.516		-88.259	-85.266

Kurulan modeller kullan�larak her bir istasyonun g�zlem periyodu ile ayn� N uzunlu�una sahip 50��er adet sentetik seri �retilmi�tir ve bu serilerin tarihi seriye ait karakteristikleri (ortalama, standart sapma, �arp�kl�k ve korelogram) muhafaza edip etmediklerini kontrol etmek i�in �retilen sentetik serilerin korelogram�, ortalamas�, standart sapmas� ve �arp�kl�k katsay�s� ile %95 g�ven aral�klar� hesaplanm��t�r. Her bir istasyona ait olan tarihi serilere ait istatistiksel karakteristikler ve g�ven aral�klar� Tablo 6�da verilmi�tir.

Tablo 6 incelendi�inde 1611 numaral� istasyonda tarihi seriye ait standart sapma de�erinin g�ven aral��nda olmad�� g�r�lmektedir. Di�er karakteristikler her �� istasyonda da g�ven aral�klar� i�ine d��mektedir. Bu nedenle 1611 numaral� istasyonun model derecesi bir derece art�r�lm�� ve AR(1) modeli yeni model olarak se�ilmi�tir. 1612 ve 1622 numaral� istasyon i�in se�ilen modeller ise en ba�ta se�ilen AR(1) modelidir.

Tablo 6. Tarihi serinin istatistiksel karakteristikleri ve g�ven limitleri.

Table 6. %95 confidence intervals and statistical characteristics of historical series.

�stasyon no	Ortalaman�n g�ven aral��		Tarihi seriye ait ortalama	Standart sapman�n g�ven aral��		Tarihi seriye ait standart sapma	�arp�kl��n g�ven aral��		Tarihi seriye ait �arp�kl�k
�stasyon no	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait ortalama	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait standart sapma	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait �arp�kl�k
1611	3.374	3.891	3.626	0.619	1.135	1.236	-0.715	0.788	-0.075
1612	2.095	2.724	2.394	0.368	1.001	0.990	-0.677	0.720	0.232
1622	0.900	1.137	1.021	0.081	0.313	0.267	-0.806	0.764	0.698

��

1611 numaral� istasyonda belirlenen yeni model olan AR(1)�e g�re model karakteristikleri tekrar hesapland��nda ortalama i�in g�ven aral�� [3.273;3.988] olarak bulunmu�tur. Tarihi seriye ait ortalama ise 3.626 m³/s olup g�ven aral�� i�ine d��mektedir. Standart sapman�n g�ven aral�� ise [0.491;1.241] olup tarihi seriye ait olan 1.236 standart sapma de�eri de g�ven aral�� i�ine d��mektedir. �arp�kl�k katsay�s�na ait olan g�ven aral�� da [-0.766;0.741]�dir ve tarihi seriye ait �arp�kl�k katsay�s� de�eri olan �0.075 de�eri de bu g�ven aral�� i�inde kalmaktad�r. Bu sonu�lar 1611 numaral� istasyon i�in belirlenen AR(1) modelinin uygun model oldu�u sonucunu g�stermektedir.

Her bir istasyon i�in korelogramlar�n kontrol� de yap�lm�� ve �� istasyona ait tarihi korelogramlar�n %95 g�ven aral�klar� i�inde oldu�u belirlenmi�tir (�ekil 8, �ekil 9 ve �ekil 10).

�ekil 8. AR(1) modeli i�in 1611 numaral� istasyona ait tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��.

Figure 8. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1611 for AR(1) model.

�ekil 8, 9 ve 10 incelendi�inde her �� istasyona ait tarihi korelogramlar�n %95 g�ven limtleri i�inde kald�� g�r�lmektedir. 1611 numaral� istasyon i�in k=12 gecikme de�erinde tarihi korelogram g�ven limitlerinin d��na ��km��t�r. Ancak bu durum kabul edilebilir s�n�rlar i�inde kalmaktad�r (12α=120.05≈1).

�ekil 9. AR(1) modeli i�in 1612 numaral� istasyona ait tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��.

Figure 9. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1612 for AR(1) model.

�ekil 10. 1622 numaral� istasyon i�in tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��

Figure 10. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1622.

Sonu� olarak; AR(1) modelinin ��eklindeki ifadesine g�re incelenen �� istasyona ait kurulan AR(1) modellerinin matematiksel ifadesi a�a��daki gibi elde edilmi�tir.

1611 numaral� istasyon i�in AR(1) modeli

�� (11)

1612 numaral� istasyon i�in AR(1) modeli

�� (12)

1622 numaral� istasyon i�in AR(1) modeli

�� (13)

Bu ifadelerdeki z_t standardize seriyi, �standart normal rastgele say�lar�, �ise rastgele de�i�kenin standart sapmas�n� ifade etmektedir.

Y�ll�k Ak�mlar�n ARMA modelleri

�al��mada kullan�lan istasyonlara ait y�ll�k ak�mlar�n AR modellemesinde �izilen korelagram ve k�smi korelogramlar neticesinde, 1611 numaral� istasyon i�in ARMA(0,1), 1612 ve 1622 numaral� istasyonlarda da k�smi korelogramlar�n k=1 gecikme de�erinde �nemli ��kmas� sebebiyle ARMA(1,1) modelleri muhtemel model olarak se�ilmi�tir. Her 3 istasyona ait y�ll�k ak�m serilerinin ortalamas�, varyans� ve z_t serileri daha �nce belirlenmi�ti. �ng�r�len ARMA modellerine ait �ve �parametreleri, art�k serilerin kareleri toplam� (S) minimum olacak �ekilde bilgisayar yard�m�yla hesaplanm�� ve bu minimum S de�eri kullan�larak art�k seri varyanslar� () belirlenmi�tir. Daha sonra 1611 numaral� istasyon i�in se�ilen modelin bir �st, 1612 ve 1622 numaral� istasyonlar i�in ise se�ilen modelin bir alt ve bir �st modelleri aras�nda AIC (Akaike Bilgi Kriteri-Akaike Information Criterion) kullan�larak bir k�yaslama yap�lm��t�r. Bunun i�in �ncelikle 1611 numaral� istasyon i�in se�ilen ARMA(0,1) modelinin bir �st modeli olan ARMA(1,1) modeli i�in, 1612 ve 1622 numaral� istasyonlarda ise se�ilen ARMA(1,1) modelinin bir alt ve bir �st modeli olan ARMA(0,1) ve ARMA(2,1) modelleri i�in minimum S de�erini veren model parametreleri ve art�k seri varyanslar� (σ_ε²) bulunarak sonu�lar Tablo 7�de verilmi�tir.

Daha sonra her model i�in AIC de�erleri elde edilerek en k��k AIC de�erini veren model o istasyonun y�ll�k ortalama ak�mlar�n� temsil eden en uygun ARMA(p,q) modeli olarak se�ilmi�tir (Tablo 8). Tablo 5�e g�re en k��k AIC de�erini veren model 1611 numaral� istasyonda AR(0), 1612 numaral� istasyonda AR(1) ve 1622 numaral� istasyonda ise AR(1) modelidir. Se�ilen modellere ait art�k serilerin �nemli bir i�sel ba��ml�l��n�n olup olmad�� da

Porte Monteau testi ile incelenmi�tir. Bunun i�in art�k serilerin korelogram� hesaplanm��, Porte Monteau metodu kullan�larak Q istatistikleri bulunmu� ve bu de�er (L-p-q) serbestlik derecesindeki, %95 olas�l�ktaki �de�eri ile k�yaslanm��t�r. ε_t art�k serilerinin normal da��l�p da��lmad�� da bu serilere ait �arp�kl�k katsay�s� hesaplanarak kontrol edilmi�tir (Tablo 9).

Tablo 9�daki sonu�lara g�re her �� istasyon i�in bulunan Q de�erlerinin s�z konusu L-p-q de�erlerine g�re bulunan �de�erlerinden k��k oldu�u dolay�s� ile ε_t art�k serilerinin �nemli bir i�sel ba��ml�l��n�n olmad��, dolay�s�yla ba��ms�z oldu�u, ayr�ca hesaplanan �arp�kl�k katsay�lar�na g�re de art�k serilerin normal da��ld�� sonucuna var�lm��t�r.

Bu kontrollerden sonra y�ll�k ortalama ak�mlar i�in belirlenen ARMA(p,q) modellerine ait ifadeler kullan�larak 50 adet sentetik seri �retilmi� ve istatistiksel karakteristiklere ait g�ven aral�klar� bulunmu�tur (Tablo 10).

1611 ve 1612 numaral� istasyon i�in ARMA(1,1) ve 1622 numaral� istasyon i�in ARMA(2,1) �eklinde belirlenen modellere ait korelogramlar�n kontrol� yap�lm�� ve tarihi korelogramlar�n %95 g�ven aral�klar� i�inde oldu�u belirlenmi�tir (�ekil 11-13).

Tablo 7. Se�ilen muhtemel ARMA(p,q) modelleri ile bir alt ve bir �st dereceli modellere ait �ve �parametreleri ve art�k seri varyanslar�.

Table 7. �and �parameters, white noise variances for selected possible ARMA(p,q) models and one up and one down degree models.

�stasyon no	ARMA(0,1)				ARMA(1,1)				ARMA(2,1)
�stasyon no			S	σ_ε²			S	σ_ε²				S	σ_ε²
1611	0.000	-0.662	283.07	7.258	0.988	0.761	67.07	1.720	0.498	0.447	-0.014	67.70	1.736
1612					0.990	0.848	37.40	0.959	0.912	0.066	0.674	39.27	1.007
1622					0.956	0.144	1.70	0.053	0.589	0.376	-0.363	1.43	0.044

Tablo 8. ARMA(p,q) modellerine ait AIC de�erleri.

Table 8. AIC values of ARMA(p,q)) models.

�stasyon no	AIC
�stasyon no	ARMA(0,1)	ARMA(1,1)	ARMA(2,1)
1611	79.304	25.148	25.507
1612		2.369	6.269
1622		-89.955	-93.558

Tablo 9. ARMA(p,q) modelleri i�in Porte Monteau� ve normalite testi sonu�lar�.

Table 9. Results of Porte Monteau and normality tests for ARMA(p,q) models.

�stasyon no	Q	L-p		γ_ε	γ
1611	8.060	12-1-1=10	18.31	0.054	0.881
1612	6.990	12-1-1=10	18.31	0.237	0.881
1622	8.743	12-2-1=9	16.92	-0.769	0.961

Tablo 10. ARMA(p,q) modelleri i�in tarihi serinin istatistiksel karakteristikleri ve g�ven limitleri.

Table 10. %95 confidence intervals and statistical characteristics of historical series for ARMA(p,q).

�stasyon no	Ortalaman�n g�ven aral��		Tarihi seriye ait ortalama	Standart sapman�n g�ven aral��		Tarihi seriye ait standart sapma	�arp�kl��n g�ven aral��		Tarihi seriye ait �arp�kl�k
�stasyon no	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait ortalama	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait standart sapma	Alt limit	�st limit	Tarihi seriye ait �arp�kl�k
1611	1.530	5.633	3.626	1.105	2.980	1.236	-0.600	0.688	-0.075
1612	1.128	3.149	2.394	0.344	1.720	0.990	-0.850	0.760	0.232
1622	0.431	1.750	1.021	0.177	0.952	0.267	-0.798	0.956	0.698

�ekil 11. ARMA(1,1) modeli i�in 1611 numaral� istasyona ait tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��.

Figure 11. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1611 for ARMA(1,1) model.

�ekil 12. ARMA(1,1) modeli i�in 1612 numaral� istasyona ait tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��.

Figure 12. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1612 for ARMA(1,1).

�ekil 13. ARMA(2,1) modeli i�in 1622 numaral� istasyona ait tarihi korelogram ve %95 g�ven aral��.

Figure 13. Historical correlogram and %95 confidence interval of gauging station with the number of 1622 for ARMA(2,1) model.

Korelogramlar incelendi�inde, her �� istasyona ait tarihi korelogramlar�n %95 g�ven limitleri i�inde kald�� g�r�lmektedir. 1611 numaral� istasyon i�in k=12, 1622 numaral� istasyon i�in ise k=4 gecikme de�erinde tarihi korelogram g�ven limitlerinin d��na ��km��t�r. Ancak bu durum kabul edilebilir s�n�rlar i�inde kalmaktad�r (12α=120.05≈1).

Yap�lan b�t�n kontroller sonucunda �� ak�m g�zlem istasyonu i�in belirlenen ARMA(p,q) modellerine ait matematiksel ifadeler a�a��da verilmi�tir:

1611 numaral� istasyon i�in ARMA(1,1) modeli

�� (14)

1612 numaral� istasyon i�in ARMA(1,1) modeli

�� (15)

1622 numaral� istasyon i�in ARMA(2,1) modeli

��16)

SONU�LAR

Bu �al��mada nehir ak�mlar�n�n stokastik modellemesinde yayg�n olarak kullan�lan modellerden biri olan AR(p) ve ARMA(p,q) modellerinin metodolojisine ve Orta Anadolu Kapal� Havzas�nda yer alan �� istasyona ait y�ll�k ortalama ak�m serilerine uygulanmas�na yer verilmi�tir. Gerekli t�m kontroller yap�larak ak�m serilerini temsil eden modellere karar verildikten sonra sentetik seriler �retilmi� ve kurulan modellerin, tarihi seriye ait istatistiksel karakteristikleri muhafaza etti�i g�sterilmi�tir. B�t�n bu yap�lan analizler sonucunda 1611, 1612 ve 1622 numaral� ak�m g�zlem istasyonlar�na ait y�ll�k ortalama ak�mlar�n� temsil eden en uygun otoregressif modelin her �� istasyonda da AR(1) modeli oldu�u, en uygun otoregressif hareketli ortalama modelinin ise 1611 ve 1612 numaral� istasyon i�in ARMA(1,1), 1622 numaral� istasyon i�in ise ARMA(2,1) oldu�una karar verilmi�tir. Elde edilen bu model Orta Anadolu Kapal� Havzas��ndaki �� nehrin y�ll�k ortalama ak�m tahminlerinde kullan�labilir.

KAYNAKLAR

Bayaz�t, M., 1998, Hidrolojik Modeller, �T� �n�aat Fak�ltesi Matbaas�, �stanbul

Box, G. E. P. and Jenkins; G. M., 1970, Time Series Analysis, Forecasting and Control, Holden-Day, San Francisco

Kahya, E., Karab�rk, �. ve Kalayc�, S., 1998, Ye�il�rmak Havzas�nda ARIMA ve �ok De�i�kenli Stokastik Modelleme Uygulamalar�, II Uluslar Hidrometeoroloji Sempozyumu, 195-203, 18-20 Kas�m, Ankara

Karab�rk, �., 1997, Y�ll�k ve Ayl�k Ak�mlar�n Stokastik Modellemesi, Y�ksek Lisans Tezi, Sel�uk �niversitesi Fen Bilimleri Enstit�s�, Konya, T�rkiye

Karab�rk, �. ve Kahya, E., 1998, G�ksu Nehrinin Y�ll�k ve Ayl�k Ak�mlar�n�n Stokastik Modellemesi, S. �. M�h.-Mim. Fak.Derg., c. 13, s. 1, Konya

Karab�rk , �, ve Kahya, E., 1999, Multivariate Stochastic Modeling of Monthly Streamflow of Rivers in the Sakarya Basin, Turk. J. Engin. Environ. Sci., 23, 133-148

Merzi, N., Usul, N. ve Usul, G., 1995, �oruh Havzas��nda Oltu Nehrinin (2323 �Numaral� �stasyonun) Ayl�k Ak�mlar�n�n Stokastik Modellemesi, Cilt 6, Say� 4

Nguyen, V.T.V. and Rouselle, J., 1981, A Stochastic Model For the Time Distibution of Hourly Rainfall Depth, Water Resources Research 17:399-409

�z�elik, C. ve Benzeden, E., 2004, G�l Seviyelerinin Matematik Modelleri, IV Ulusal Hidroloji Kongresi, 247-259, �stanbul

Salas, J. D. Delleur, J. W., Yevjevich, V., Lane, W. L., 1980, Applied Modelling of Hydrologic Time Series, Water Resources Publications, Colerado

Salas, J.D. and Obeysekera, J.T.B., 1982, ARMA Model Identification of Hydrologic Time Series, Water Resources Research 18:1011-1021

�arlak, N. ve �orman, �., 2004, Otoregresif Zaman Serileri Modelleri Parametrelerinin Yeni Bir Metotla (MML) Elde Edilmesi ve Maksimum Olabilirlik Metodu �le Kar��la�t�r�lmas� Uygulama: K�z�l�rmak Havzas�, IV Ulusal Hidroloji Kongresi, 235-245, �stanbul

Te, W. G. and Singh, V.P., 1994, An Autocorrelation Function Method for Estimation Parameters of Autoregressive Models, Water Resources Management 32:33-56

Yi�it, U., 1998, Stochastic Modeling of Monthly Flows of Ankara Creek in Sakarya Basin, Y�ksek Lisans Tezi, ODT� Fen Bilimleri Enstit�s�, Ankara, T�rkiye

Y�cel, A. ve Topalo�lu, F., 1999, Adana �li Uzun Y�ll�k (1929-1990) G�nl�k Minimum, Ortalama ve Maksimum S�cakl�k Verilerinin Zaman Serisi Analizi �le �ncelenmesi, Turkish Journal of Agriculture And Forestry 23, Ek Say� 4, 863-868, T�bitak

Y�rekli, K. and �zt�rk, F., 2003, Stochastic Modeling of Annual Maximum and MinimumStreamflow of Kelkit Stream, Water International, Volume 28, Number 4, Pages 433�441

Madde Ölçümleri

Ölçüm Çağırılıyor ...

_{Metrics powered by PLOS ALM}

Refback'ler

Şu halde refbacks yoktur.

Telif Hakkı (c)

Tarayan Veri Tabanları

Kullanıcı Adı
Şifre
Beni hatırla